두 직선의 평행에 대한 자세한 이해 (고1수학 도형의 방정식)

두 직선의 평행과 수직에 대한 자세한 이해 및 문제 풀이 (고1수학 도형의 방정식)

직선의 평행

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 고1 수학의 도형의 방정식 파트의 직선의 방정식의 공식을 지난 포스팅에서 다루었습니다. 계속해서 직선에 대한 얘기를 해볼 건데 오늘의 주제는 두 직선의 위치 관계입니다. 우리는 중학교 1학년 때 점, 선, 면과 같은 기본 도형을 공부하면서 이들의 위치 관계 또한 알아본 바가 있습니다. 다음은 중1 수학 교과서의 일부입니다.

여기서는 직선의 위치 관계를 방정식으로 옮겨보도록 하겠습니다.

 

● 두 직선 y=mx+n, y=m'x+n'의 위치 관계

 두 직선의 방정식을 각각 $y=mx+n$, $y=m^{\prime }x+n^{\prime }$이라 할 때, 두 직선이 서로 평행하려면 동위각의 성질에 의해 $x$축과 이루는 각의 크기가 같으므로 기울기가 같아야 한다는 사실은 누구나 다 이해하실 수 있을 겁니다. 따라서 $m=m^{\prime }$이 성립해야 합니다.
 여기서 만약 $n=n^{\prime }$까지 성립한다면 어떻게 될까요? 두 방정식이 완전히 같아지면서 두 직선은 서로 일치하게 됩니다. 그런데 두 직선의 평행은 일치와는 다른 개념이죠. 평행은 두 직선이 서로 만나지 않는 관계이므로 이를 위해서는 $n\ne n^{\prime }$이어야만 합니다.
 이제 $m\ne m^{\prime }$이면 어떨까요? $m=m^{\prime }$일 때 두 직선이 평행 또는 일치하였으므로 $m\ne m^{\prime }$이면 남은 위치 관계는 하나밖에 없죠. 직선은 양쪽으로 제한 없이 뻗어 나가는 선이므로 기울기가 다른 두 직선은 한 점 어딘가에서 만날 수밖에 없습니다.

이상으로부터 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

● 두 직선의 평행 관련 문제 풀이

다음 소개하는 문제는 수학의 정석에서 가져온 문제이나 대부분 교과서의 단원 마무리 문제에도 등장하는 대표유형이므로 잘 숙지하시기 바랍니다.

세 직선이 삼각형을 만든다는 것이 무슨 의미인지 잘 생각해봅시다. 삼각형이 만들어지기 위해서는 꼭짓점이 3개가 필요하죠. 그럼 이 꼭짓점은 뭘로 만들어지느냐? 바로 세 직선이 만나는 교점으로 만들어지므로 다음 그림과 같이 교점을 개 만들면 삼각형이 만들어집니다.

 

그렇다면 삼각형을 만들지 못하는 건 어떤 경우일까요? 바로 교점이 3개 미만으로 나오는 다음과 같은 경우가 됩니다.

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