안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
지난 포스팅에서 두 점 사이의 거리를 구하는 방법을 알아보았습니다. 오늘의 포스팅은 평면좌표 단원이 두 번째 챕터로 선분의 내분점에 대한 개념을 알아보겠습니다. 거리 공식처럼 이 포스팅에서도 공식 하나만 배우면 되지만 이 공식이 가지는 의미까지 같이 생각하면서 익혀야 제대로 이해했다고 볼 수 있겠죠. 이 포스팅에서는 교과서나 참고서에는 없는 보다 자세한 설명으로 공식을 소개하겠습니다.
선분의 내분점을 정의할 때 이용되는 핵심 원리는 비례식입니다. 실생활에서는 방정식보다는 비례식을 더 많이 쓰죠. 종이를 자를 때 얼마만큼의 비율을 잡아서 잘라야 하는지, 사진을 촬영할 때 가로, 세로를 몇 대 몇으로 할 것인지 등등 일상에서 그 예를 찾아볼 수 있으며, 우리나라의 국기인 태극기에도 다음과 같이 엄청나게 많은 비율이 들어있습니다.
위의 그림에서 태극기의 가로 길이와 세로 길이의 비는 3:2이며, 가로길이와 태극원의 지름의 비는 3:1입니다. 즉, 태극기에 표시한 점 A, B, P에 대하여
우리는 선분을 절반으로 나누는 점을 중점이라고 배웠죠. 그러나 절반으로 나누는 점 말고도 위와 같이 다른 비율로 나누는 점 또한 필요한데 이를 일반화한 개념이 바로 내분입니다. 선분의 내분의 정의는 다음과 같습니다.
위와 같이 만족할 때 점 P는 선분 AB를
내분점을 정의할 때는 다음과 같이 선분의 양 끝점과 비례식의 순서가 일치해야 한다는 것도 유의해야 합니다.
이제 본격적으로 수직선 위의 두 점
다음 그림과 같이
입니다. 교과서에서는 내분의 정의에 따라 비례식
따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
선분을 내분하기 위해서 두 점의 좌표
먼저 중점의 경우
그런데 중점이 아니라면
편의상 위에서 써먹은 그림을 다시 보면서
이 상황을 두 점 A, B가 사이에 있는 P를 서로 가지려고 줄다리기하듯이 양쪽에서 끌어당기고 있다고 생각한다면 누가 이기고 있나요? B가 이기고 있고 B의 힘이 더 세다고 볼 수 있죠. 그렇다면 점 P의 좌표를 결정하려면 A와 B중 누구의 영향을 더 많이 받아야 할까요? 더 가까이 있는 B의 영향을 더 많이 받아야 한다는 걸 이해할 수 있겠죠? 따라서 B의 좌표인
즉, 점 P에서 A, B까지의 거리의 비가
극단적으로
이제 두 점 사이의 거리를 알아볼 때와 마찬가지로 선분의 내분도 수직선에서 좌표평면으로 확장을 해야 하겠죠.
위의 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점
위의 그림에서 세 점 A, P, B에서
따라서
마찬가지로
따라서 좌표평면 위에서의 선분의 내분점은 평행선의 성질 덕분에 수직선 위의 선분의 내분점 공식을 반복해서 사용할 수 있습니다.
몇 가지 응용 문제를 함께 풀어보고 가겠습니다.
몇 가지 우리는 중학교 2학년 때 삼각형의 닮음을 배우면서 삼각형의 무게중심에 대해 배운 적이 있습니다. 무게중심은 용어 그대로 무게의 중심으로서 평면도형의 경우 도형 모양으로 종이를 잘라서 무게중심에 실을 연결하여 도형을 공중에 띄우면 도형이 한쪽으로 기울지 않고 지면과 평행을 이루게 됩니다. 삼각형의 경우 각 꼭짓점에서 마주 보는 변의 중점과 연결한 세 중선이 만나는 점이 무게중심이 되는데 이 점의 좌표 또한 선분의 내분점을 이용하여 구할 수 있습니다.
임의의 삼각형의 세 꼭짓점을 각각
우선 중선 하나를 긋기 위해 변 BC의 중점 M을 잡습니다. 그다음 무게중심의 특징에 의해 선분 AM을 2:1로 내분하는 점이 바로 무게중심 G가 됩니다. 이제 M의 좌표부터 구하면
따라서 무게중심 G를 구하기 위해 선분 AM을 2:1로 내분하는 점을 구하면
입니다. 무게중심의 의미에 걸맞게 세 꼭짓점의 좌표의 평균값이 나온다는 것을 알 수 있습니다.
대부분의 교과서에서는 무게중심의 좌표를 구하는 과정 자체를 예제를 통해 보여줍니다. 이것은 무게중심의 공식을 기계적으로 외우기만 할 게 아니라 내분점을 통해 직접 구할 줄도 알아야 한다는 걸 의미하죠. 다음 예제가 그것을 보여줍니다.
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