선분의 내분점의 자세한 이해 및 문제 풀이 (고1수학 도형의 방정식, 삼각형의 무게중심)

선분의 내분점의 자세한 이해 및 문제 풀이 (고1수학 도형의 방정식, 삼각형의 무게중심)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 두 점 사이의 거리를 구하는 방법을 알아보았습니다. 오늘의 포스팅은 평면좌표 단원이 두 번째 챕터로 선분의 내분점에 대한 개념을 알아보겠습니다. 거리 공식처럼 이 포스팅에서도 공식 하나만 배우면 되지만 이 공식이 가지는 의미까지 같이 생각하면서 익혀야 제대로 이해했다고 볼 수 있겠죠. 이 포스팅에서는 교과서나 참고서에는 없는 보다 자세한 설명으로 공식을 소개하겠습니다.

 

● 내용 들어가기

 선분의 내분점을 정의할 때 이용되는 핵심 원리는 비례식입니다. 실생활에서는 방정식보다는 비례식을 더 많이 쓰죠. 종이를 자를 때 얼마만큼의 비율을 잡아서 잘라야 하는지, 사진을 촬영할 때 가로, 세로를 몇 대 몇으로 할 것인지 등등 일상에서 그 예를 찾아볼 수 있으며, 우리나라의 국기인 태극기에도 다음과 같이 엄청나게 많은 비율이 들어있습니다.

태극기 속의 다양한 비율

 위의 그림에서 태극기의 가로 길이와 세로 길이의 비는 3:2이며, 가로길이와 태극원의 지름의 비는 3:1입니다. 즉, 태극기에 표시한 점 A, B, P에 대하여 $\overline{\textrm{AP}}:\overline{\textrm{BP}}=1:2$이죠. 따라서 점 P는 선분 AB를 1:2로 분리하는 지점입니다.

 

● 선분의 내분의 정의

 우리는 선분을 절반으로 나누는 점을 중점이라고 배웠죠. 그러나 절반으로 나누는 점 말고도 위와 같이 다른 비율로 나누는 점 또한 필요한데 이를 일반화한 개념이 바로 내분입니다. 선분의 내분의 정의는 다음과 같습니다.

 위와 같이 만족할 때 점 P는 선분 AB를 $m:n$으로 내분한다고 하며 점 P를 선분 AB의 내분점이라고 합니다. 말 그대로 점 P는 선분 AB의 내부에 존재하면서 선분을 분리하고 있는 거죠. 이때 $m:n=1:1$이면 점 P는 선분 AB의 중점이 되므로 중점도 내분점의 특수한 경우가 됩니다. 위의 태극기 그림을 통해 내분의 개념을 다시 확인하면 점 P는 선분 AB를 1:2로 내분하는 점이 되는 거죠. 참고로 비례식 $m:n$을 정의할 때는 $m,~n$  모두 양수인 점도 참고하세요.

 내분점을 정의할 때는 다음과 같이 선분의 양 끝점과 비례식의 순서가 일치해야 한다는 것도 유의해야 합니다.

 

● 수직선 위에서의 선분의 내분점 공식

 이제 본격적으로 수직선 위의 두 점 $\textrm{A}(x_1)$, $\textrm{B}(x_2)$를 잇는 선분 $\textrm{AB}$를 $m:n~(m>0,~n>0)$ 으로 내분하는 점 $\textrm{P}(x)$의 좌표를 구해보겠습니다.

다음 그림과 같이 $x_1<x_2$임을 가정하면

입니다. 교과서에서는 내분의 정의에 따라 비례식 $\overline{\textrm{AP}}:\overline{\textrm{PB}}=m:n$에 그대로 대입해서 다음과 같이 를 구합니다.

 따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 선분을 내분하기 위해서 두 점의 좌표 $x_1,~x_2$ 와 비례식을 이루는 양수 $m,~n$ 의 값까지 총 네 개의 변수가 들어가므로 다소 까다로운 공식으로 체감될 수 있습니다. 다양한 상황에서 내분점을 구하는 연습을 해보면서 공식을 확실히 익혀야만 하는데 공식을 잘 기억하기 위해 이 식이 의미를 잘 살펴볼 필요가 있습니다.

 먼저 중점의 경우 $\frac{x_1+x_2}{2}$와 같이 구해진다는 건 주어진 선분을 2등분 한 다음 각 좌표 $x_1,~x_2$ 에다 동등한 비율을 적용해서 값이 계산됨을 의미합니다.

 그런데 중점이 아니라면 $m,~n$ 은 서로 다른 양수가 되겠죠. 이 경우 선분을 $m+n$등분을 해서 $m:n$이 되도록 각 좌표 $x_1,~x_2$ 에다가 서로 다른 비율을 적용하여 식 $\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}$이 만들어진 것으로 이해할 수 있습니다. 그렇다면 여기서 눈여겨봐야 할 곳이 분자죠. $x_1$까지의 거리와 $x_2$까지의 거리의 비가 $m:n$인데 분자의 식은 $mx_{1}+nx_{2}$이 아니라 $mx_{2}+nx_{1}$이 되어 상대편 좌표까지의 거리의 비율을 적용하고 있다는 겁니다. 따라서 공식을 기억할 때 이 부분을 신경 써야 하는데 그렇다면 왜 비율 적용을 반대로 해야 할까요?

 편의상 위에서 써먹은 그림을 다시 보면서 $x_1<x_2$와 $m>n$임을 가정해보겠습니다. 이때, 점 P는 점 A보다 점 B에 더 가까이 위치하게 됩니다.

 이 상황을 두 점 A, B가 사이에 있는 P를 서로 가지려고 줄다리기하듯이 양쪽에서 끌어당기고 있다고 생각한다면 누가 이기고 있나요? B가 이기고 있고 B의 힘이 더 세다고 볼 수 있죠. 그렇다면 점 P의 좌표를 결정하려면 A와 B중 누구의 영향을 더 많이 받아야 할까요? 더 가까이 있는 B의 영향을 더 많이 받아야 한다는 걸 이해할 수 있겠죠? 따라서 B의 좌표인 $x_2$에다가 더 큰 값인 $m$이 곱해지고 멀리 있는 A의 좌표 $x_2$에는 작은 값인 $n$이 곱해지는 겁니다.

즉, 점 P에서 A, B까지의 거리의 비가 $m:n$이라면 좌표를 결정하는데 $x_1,~x_2$ 가 미치는 영향력은 반대로 $n:m$이 되는 것이죠.

 극단적으로 $n$의 값이 더욱 작아져서 0이 되어버리면 어떻게 될까요? 내분점 P의 좌표는 $\frac{mx_{2}+0x_{1}}{m+0}=x_{2}$가 되어 아예 점 B의 위치에 도달해버리죠. 반대로 $m$의 값이 점점 작아져서 0이 되면 P의 좌표는 $\frac{0x_{2}+nx_{1}}{0+n}=x_{1}$이 되어 점 A에 도달하게 됩니다. 이런 원리를 함께 생각한다면 내분점 공식을 확실히 이해하고 기억하실 수 있겠죠?

 

● 좌표평면 위에서의 선분의 내분점 공식

 이제 두 점 사이의 거리를 알아볼 때와 마찬가지로 선분의 내분도 수직선에서 좌표평면으로 확장을 해야 하겠죠.

 위의 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 $\textrm{A}(x_{1},~y_{1})$, $\textrm{B}(x_{2},~y_{2})$를 잇는 선분 $\textrm{AB}$를 $m:n~(m>0,~n>0)$으로 내분하는 점 $\textrm{P}(x,~y)$의 좌표를 구해보겠습니다. 좌표평면에서 위치를 나타내는 좌표는 두 개이므로 $x$좌표는 $x$좌표끼리, $y$좌표는 $y$좌표끼리 따로 생각해주면 됩니다.

 위의 그림에서 세 점 A, P, B에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 A', P', B'이라고 하면 수선들이 모두 평행하므로 여기에서 중2 때 배웠던 평행선 사이의 선분의 길이의 비를 이용할 수 있습니다. 이 성질은 대각선 하나만 그으면 닮은 삼각형 두 쌍이 만들어지면서 삼각형의 닮음비를 통해 증명할 수 있었습니다.

 따라서 $\overline{\textrm{A'P'}}:\overline{\textrm{P'B'}}=\overline{\textrm{AP}}:\overline{\textrm{PB}}=m:n$이므로 점 P'은 선분 A'B'을 $m:n$으로 내분하는 점이 되죠. 이렇게 좌표평면 위의 선분의 내분 개념을 $x$축으로 가져와서 수직선 위의 내분점 개념으로 가져오는 것이 가능하므로 다음 그림과 같이 점 $\textrm{P}(x,~y)$의 $x$좌표는 위에서 정리했던 공식을 그대로 사용하여 $x=\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}$임을 구할 수 있습니다.

 마찬가지로 $y$축 위에서 $y$좌표끼리 내분하는 개념으로 생각하여 $y=\frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n}$임을 구할 수 있습니다.

 따라서 좌표평면 위에서의 선분의 내분점은 평행선의 성질 덕분에 수직선 위의 선분의 내분점 공식을 반복해서 사용할 수 있습니다.

 

● 내분점 관련 문제 풀이

 몇 가지 응용 문제를 함께 풀어보고 가겠습니다.

 

● 삼각형의 무게중심

 몇 가지 우리는 중학교 2학년 때 삼각형의 닮음을 배우면서 삼각형의 무게중심에 대해 배운 적이 있습니다. 무게중심은 용어 그대로 무게의 중심으로서 평면도형의 경우 도형 모양으로 종이를 잘라서 무게중심에 실을 연결하여 도형을 공중에 띄우면 도형이 한쪽으로 기울지 않고 지면과 평행을 이루게 됩니다. 삼각형의 경우 각 꼭짓점에서 마주 보는 변의 중점과 연결한 세 중선이 만나는 점이 무게중심이 되는데 이 점의 좌표 또한 선분의 내분점을 이용하여 구할 수 있습니다.

 임의의 삼각형의 세 꼭짓점을 각각 $\textrm{A}(x_{1},~y_{1})$, $\textrm{B}(x_{2},~y_{2})$, $\textrm{C}(x_{3},~y_{3})$ 라 했을 때 이 세 점을 이용하여 무게중심의 좌표는 어떻게 나오는지 알아보겠습니다.

 우선 중선 하나를 긋기 위해 변 BC의 중점 M을 잡습니다. 그다음 무게중심의 특징에 의해 선분 AM을 2:1로 내분하는 점이 바로 무게중심 G가 됩니다. 이제 M의 좌표부터 구하면

 따라서 무게중심 G를 구하기 위해 선분 AM을 2:1로 내분하는 점을 구하면

입니다. 무게중심의 의미에 걸맞게 세 꼭짓점의 좌표의 평균값이 나온다는 것을 알 수 있습니다.

 대부분의 교과서에서는 무게중심의 좌표를 구하는 과정 자체를 예제를 통해 보여줍니다. 이것은 무게중심의 공식을 기계적으로 외우기만 할 게 아니라 내분점을 통해 직접 구할 줄도 알아야 한다는 걸 의미하죠. 다음 예제가 그것을 보여줍니다.

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