두 직선의 수직에 대한 자세한 이해 (고1수학 도형의 방정식)

두 직선의 수직에 대한 자세한 이해 및 문제 풀이 (고1수학 도형의 방정식)

직선의 수직

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 두 직선의 위치 관계 중 평행에 대한 얘기를 해봤습니다. 오늘은 매우 중요한 두 직선의 수직에 대한 얘기를 해보겠습니다. 실생활에서 건물이나 가구의 구조를 봐도 수직의 예는 무수히 많이 찾을 수 있고 수학에서도 수직은 매우 중요한 각도입니다.

 

● 두 직선 y=mx+n, y=m'x+n'의 수직 조건

 수직은 두 직선이 한 점에서 만나는 관계의 특수한 경우이므로 두 직선의 기울기는 당연히 달라야 하며 거기에다 기울기가 서로 특별한 조건을 만족해야 성립할 것으로 추측할 수 있습니다. 다음과 같이 그 조건은 매우 간단합니다.

우선 두 기울기를 곱해서 음수가 되는 이유부터 생각해봅시다. 위의 그림에서 보다시피 수직인 두 직선이 있을 때 한 직선이 올라가는 방향(↗)이면 다른 직선은 내려가는 방향(↘)이 될 수밖에 없죠. 따라서 한 직선의 기울기가 양수이면 다른 직선의 기울기는 음수이므로 둘을 곱하면 음수가 됩니다.

그다음 숫자 중에 1은 가장 간단한 숫자죠. 그럼 두 직선이 서로 수직일 때 기울기끼리의 곱이 왜 -1이 나오는지 교과서의 증명부터 살펴보겠습니다.

두 직선 $y=mx+n$, $y=m'x+n'$ $(mm'\neq 0)$을 가정했을 때 사실상 상수는 의미가 없고 오직 기울기에 의해서 수직 여부가 결정되므로, 편의상 이들과 각각 평행인 두 직선 $y=mx$와 $y=m'x$ 를 가지고 증명합니다. 그리고 이 두 직선이 서로 수직임을 가정하면 두 직선 $y=mx+n$, $y=m'x+n'$이 서로 수직임을 가정하는 것과 같습니다.

수직이라 하면 직각삼각형을 떠올릴 수 있고 직각삼각형에서 빠질 수 없는 성질이 피타고라스 정리죠. 이것을 이용하여 $m$과 $m'$의 관계식을 알아볼 겁니다. 따라서 삼각형을 만들기 위한 보조 직선이 필요하므로 다음 그림과 같이 간단한 직선 $x=1$을 그은 다음 두 직선과 만나는 교점을 각각 P, Q라 하면 두 점의 좌표는 각각 $(1,~m)$, $(1,~m')$이 됨을 알 수 있습니다.

이제 직각삼각형 POQ에서 피타고라스 정리를 적용하면 다음과 같이 공식이 완성됩니다.

 어려운 증명은 아니지만 두 기울기를 곱한 절댓값이 왜 하필 1이 되는지 소울을 담아 이해하기엔 부족하죠. 그래서 다음의 원리를 생각해보겠습니다.

 

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● mm'=-1이 되는 직관적 원리

위의 그림과 같이 $(1,~0)$을 지나고 $x$축과 수직인 선분과 $(0,~-1)$을 지나고 $y$축과 수직인 선분을 그어 초록색 직각삼각형과 파란색 직각삼각형을 만듭니다. 그러면 방정식 $y=mx$에 의해 초록색 직각삼각형의 세로의 가로의 길이는 1이고 세로의 길이는 $m$이 됩니다.

이때 두 직각삼각형이 서로 ASA합동임을 확인할 수 있습니다. 왜냐하면, 직각인 $90^{\circ} $에다가 그림에서 빨간색으로 표시한 각 $\theta $를 뺀 각이 바로 점$(\bullet )$으로 표시한 두 각이므로 이들의 각의 크기가 서로 같으며, 이 각과 직각 사이의 변의 길이가 1로 같기 때문입니다. 따라서 파란색 직각삼각형의 가로의 길이도 $m$이 됩니다.

이제 파란색 직각삼각형을 이용하여 직선 $y=m'x$의 기울기를 구하면 부호는 마이너스이고 가로와 세로의 길이의 비는 $\frac{1}{m}$이 됩니다. 따라서 $m'=-\frac{1}{m}$이고 이를 정리하면 $mm'=-1$가 됩니다.

결국, 두 직선이 서로 수직이 되는 관계는 합동인 두 직각삼각형의 가로와 세로의 길이를 서로 뒤바꾸는 원리를 만들어서 기울기의 절댓값이 서로 역수 관계가 됨을 알 수 있습니다.

 

● 문제 풀이

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