선분의 외분점의 자세한 이해 및 문제 풀이 (고1수학 도형의 방정식)

선분의 외분점의 자세한 이해 및 문제 풀이 (고1수학 도형의 방정식)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 선분을 내분하는 방법을 알아보았습니다. 내분의 '내'는 안쪽을 의미하는 한자어입니다. 말 그대로 선분을 내부에서 분리한다는 뜻이죠. 오늘은 외부에서 선분을 분리하는 개념인 선분의 외분에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

● 선분의 외분의 정의

 선분을 외부에서 분리한다는 개념이 좀 애매하게 느껴질 수는 있는데 수학에서는 선분의 내분의 개념에서 딱 한 가지 조건만 바꿔서 다음과 같이 정의합니다. 이 정의와 앞에서 공부했던 선분의 내분의 정의를 비교해서 어떤 공통점과 차이점이 있는지 스스로 정리해보시는 시간을 가져보는 것을 추천합니다.

 어떤 공통점과 차이점이 있는지 발견하셨나요? 우선 똑같이 비례식을 이용하고 있다는 게 공통점이죠. 그리고 역시 선분을 지칭할 때 점의 순서에 따라 비례식이 만들어지므로 내분의 정의처럼 다음과 같이 순서에 유의하도록 합니다.

 그렇다면 차이점은 무엇일까요? 내분에서는 알파벳 P를 사용했는데 여기서는 Q를 쓴다고 대답하시지는 않겠죠?^^ 알파벳 종류는 쓰는 사람 마음인거고 본질적 차이는 내분점은 선분 위에서 정의했지만 외분점은 선분의 연장선에서 정의한다는 사실입니다. 즉, 선분 AB의 범위를 벗어나서 비례식이 성립하도록 하므로 외분이라고 정의하는 거죠.

 따라서 위의 정의에서 알 수 있듯이 선분의 연장선은 두 방향이 있으므로 어느 쪽 연장선에 외분점이 위치하느냐에 따라 $m$과 $n$의 대소관계가 결정됩니다. 예를 들어 그림과 같이 점 A쪽의 연장선에 외분점이 존재하면 반대편에 있는 점 B보다 A와의 거리가 더 가까울 수밖에 없죠. 그래서 $m<n$이 성립합니다. 따라서 이러한 원리로 인해 외분점에서는 $m$과 $n$이 같아지는 경우는 존재하지 않습니다.

 

● 수직선 위에서의 선분의 외분점 공식

 그럼 바로 외분점의 좌표를 구하는 방법을 알아보겠습니다. 먼저 수직선 위의 두 점 $\text{A}(x_1)$, $\text{B}(x_2)$ 를 잇는 선분 $\text{AB}$를 $m:n(m>0,n>0,m\ne n)$ 으로 외분하는 점 의 좌표를 구해봅시다.

 편의상 $x_1<x_2$로 가정하면 내분점과 마찬가지로 $\overline{\text{AQ}}$와 $\overline{\text{BQ}}$를 좌표를 통해 계산한 다음 정의를 이용하여 비례식 $\overline{\text{AQ}}:\overline{\text{BQ}}=m:n$에 대입하고 $x$를 구할 겁니다. 따라서 그 과정과 결과가 내분점을 구하는 방법과 유사합니다.

 단, 내분점의 경우는 수직선 위에서 $x$가 $x_1$, $x_2$사이에 있었기 때문에 $\overline{\text{AP}}=x-x_1$, $\overline{\text{PB}}=x_2-x$가 되어 다음의 비례식을 만든 바 있습니다.

그러나 외분점의 경우는 그림과 같이 $m>n$일 때 $x$는 가장 큰 값이 되어서 $\overline{\text{AQ}}=x-x_1$, $\overline{\text{BQ}}=x-x_2$가 되고 다음의 비례식을 만듭니다.

마찬가지로 $m<n$일 때 $x$는 가장 작은 값이 되어서 $\overline{\text{AQ}}=x_1-x$, $\overline{\text{BQ}}=x_2-x$가 되고 다음의 비례식을 만듭니다.

 이 계산으로부터 내분점의 유도과정과 어떤 차이가 있는지 파악이 되셨나요? 위에서 보라색으로 칠한 세 관계식은 모두 같습니다. 즉, 외분점의 유도과정에서는 내분점의 유도과정에서 $n$대신 $-n$이 들어간 결과가 나온다는 걸 알 수 있죠. 따라서 최종결과에서도 내분점 공식 $\frac{m{x}_2+n{x}_1}{m+n}$에서 $n$대신 $-n$을 대입하면 다음의 결과를 얻게 됩니다.

$x_1<x_2$인 경우에 대해 유도해 봤는데 $x_1>x_2$인 경우에도 내분점 공식이 다르지 않았던 것처럼, 외분할 때도 본질은 변하지 않으므로 구하는 방법은 같습니다.

 이상으로부터 내분점 공식에서 가운데 연산만 모두 마이너스로 바꾸면 외분점 공식을 얻을 수 있습니다.

역시 공식을 그냥 외울 게 아니라 $m>n$라 가정하고 외분점 공식 $\frac{m{x}_2-n{x}_1}{m-n}$의 의미를 생각해보겠습니다.

다음 그림과 같이 점 Q는 점 A보다 점 B에 더 가까이 있습니다. 따라서 내분점 공식과 같은 원리로 $x$는 B의 좌표인 $x_2$의 영향을 더 많이 받아야 하므로 비율 $m:n$에서 더 큰 값인 $m$을 $x_2$에 곱하고 $n$을 A의 좌표인 $x_1$에다가 곱했음을 알 수 있습니다. 단, 내분점을 구할 때는 그림에서 ①번 상황처럼 두 점 A, B가 양쪽 방향에 하나씩 있지만, 외분점의 경우는 그림에서 ②번 상황처럼 두 점 A, B 모두 Q의 왼쪽에 있거나 아니면 오른쪽에 위치합니다. 이것은 ①번 상황과 비교했을 때 점 하나를 Q에 대하여 대칭이동하여 반대편으로 보낸 것이라 생각할 수 있으므로 연산 또한 반대 연산인 뺄셈으로 바뀌었다고 볼 수 있습니다.

 

● 좌표평면 위에서의 선분의 외분점 공식

 이제 외분점을 구하는 공식도 좌표평면으로 확장할 건데 확장하는 원리와 결과가 어떻게 될지는 이제 여러분도 짐작하실 수 있겠죠?

좌표평면 위의 두 점 $\text{A}(x_1,y_1)$, $\text{B}(x_2,y_2)$를 잇는 선분 $\text{AB}$를 $m:n(m>0,n>0,m\ne n)$으로 외분하는 점 $\text{Q}(x,y)$의 좌표를 구해보겠습니다.

편의상 위의 그림과 같은 상황을 가정해보면 역시 평행선 사이의 선분의 길이의 비는 같다는 성질에 의해 $x$좌표는 $x_1$, $x_2$끼리 축에서 외분점을 구하면 되고, $y$좌표는 $y_1$, $y_2$끼리 $y$축에서 외분점을 구하면 됩니다. 따라서 좌표평면 위에서 선분의 외분점을 구하는 것 역시 수직선에서 외분점을 구하는 과정을 두 번 반복하면 됩니다.

 

● 외분점 관련 문제 풀이

 두 문제만 풀어보고 마무리 하겠습니다.

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