명제 'p이면 q이다. (p→q)'의 부정에 대한 자세한 이해 (고1수학 집합과 명제)

명제 'p이면 q이다. (p→q)'의 부정에 대한 자세한 이해 (고1수학 집합과 명제)

수학에서 참과 거짓은 늘 함께 합니다. (그림 출처: pixabay)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 명제 첫 강의에서 명제 '$p~$→$~q$'의 참, 거짓에 대해 알아보았고, 직전 강의에서는 '모든'이나 '어떤'이 들어간 명제에 대해 알아보고 각 명제를 부정하면 어떻게 되는지도 알아보았습니다. 아직 명제 '$p~$→$~q$'의 부정에 대한 얘기를 안 한 상태인데 오늘 포스팅에서는 이 명제를 부정하면 어떻게 되는지 자세히 다뤄보도록 하겠습니다.

● 들어가기

곧바로 본론으로 들어가 보겠습니다. 다음 중 명제 '$p$이면 $q$이다.'의 부정은 무엇일까요?

① $p$이면 $\sim q$이다.
② $\sim p$이면 $q$이다.
③ $\sim p$이면 $\sim q$이다.
④ $p$이지만 $\sim q$일 수도 있다.
⑤ $\sim p$이지만 $\sim q$일 수도 있다.

공부를 열심히 한 학생들에게도 막상 이 질문을 하면 ①번으로 답을 하는 경우가 많습니다. 이게 헷갈리면 다음의 예시를 생각해 봅시다.

다음 중 '한국인의 혈액형은 A형이다.'의 부정은? ① 한국인의 혈액형은 A형이 아니다. ② 한국인이 아닌 사람의 혈액형은 A형이다. ③ 한국인이 아닌 사람의 혈액형은 A형이 아니다. ④ 한국인의 혈액형은 A형이 아닐 수도 있다. ⑤ 한국인이 아닌 사람의 혈액형은 A형이 아닐 수도 있다.

위의 예시는 첫 번째 질문에서 $p$를 '한국인이다', $q$를 '혈액형이 A형이다'에 대입해서 그대로 물어본 것입니다. 본 명제 '한국인의 혈액형은 A형이다.'는 이미 직전 강의에서도 다음과 같이 예제로 다룬 적이 있었죠.

문제 출처: https://holymath.tistory.com/54

사실상 '한국인의 혈액형은 A형이다.'와 위의 예제의 '모든 한국인의 혈액형은 A형이다.'는 본질적으로 같은 의미입니다. 그리고 위의 예제3번의 답은 ②번이었죠. 따라서 '한국인의 혈액형은 A형이다.'의 부정 또한 ④번인 '한국인의 혈액형은 A형이 아닐 수도 있다.'입니다.

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● p→q의 부정을 구하는 원리

위의 예제에서 본질만 따오면 명제 '$p$이면 $q$이다'는 '$p$를 만족하는 모든 $x$에 대하여 $q$이다.'와 같은 의미가 됩니다. 따라서 명제 '$p~$→$~q$'의 부정은 '$p$를 만족하는 어떤 $x$에 대하여 $\sim q$이다.'가 되는 겁니다. 따라서 맨 위에서 제시한 문제의 답 또한 ④번인 '$p$이지만 $\sim q$일 수도 있다.'가 됩니다.

명제 '$p~$→$~q$'의 참, 거짓 조건을 다음과 같이 정리한 바가 있습니다.

■ 명제 $p~$→$~q$의 참, 거짓

① $P\subset Q$이면 명제 $p~$→$~q$는 참이고, 명제 $p~$→$~q$가 참이면 $P\subset Q$이다. ② $P$⊄$Q$이면 명제 $p~$→$~q$는 거짓이고, 명제 $p~$→$~q$가 거짓이면 $P$⊄$Q$이다.

위에서 $P\subset Q$는 $P-Q=\varnothing$임을 의미하죠. 반대로 $P$⊄$Q$는 $P-Q\neq \varnothing$임을 의미합니다. 즉, 명제 $p~$→$~q$의 참, 거짓의 여부는 다음과 같이 차집합 $P-Q=P\cap Q^C$에 원소가 있느냐 없느냐에 따라 결정됩니다.

즉, 명제 $p~$→$~q$를 다른 말로 표현하면 다음과 같습니다. 이렇게 표현하면 이 명제의 부정은 쉽게 구할 수 있겠죠?

'$p$이면서 $\sim q$일 수는 없다.'

 

● 교과서에서 소개하는 p→q의 부정

교과서에는 명제 $p~$→$~q$의 부정에 대해 직접적으로 다루지는 않습니다. 따라서 현 교육과정에는 포함되지 않는 내용이라고 합니다. 그런데 과연 교육과정과 전혀 무관하다고 할 수 있는지 교과서의 내용을 살펴보겠습니다.

자료 출처: 좋은책 신사고 수학

이렇게 명제 '$p~$→$~q$'의 부정을 직접 다루지는 않지만, 명제 '$p~$→$~q$'가 거짓임을 보이는 원리는 설명하고 있죠. 이것은 명제 '$p~$→$~q$'의 부정이 참임을 밝히는 원리와 일치하며, 밑줄 친 부분처럼 $p$이지만 $\sim q$일 수 있다는 것을 보이라고 설명하고 있습니다. 그리고 그러한 예시를 반례라고 합니다.

이렇게 고교 수학에서는 '$p~$→$~q$'가 참임을 확인하는 내용만큼 '$p~$→$~q$'가 거짓임을 확인하는 내용 또한 그 비중이 높습니다. 나중에 함수 단원을 공부하다 보면 일대일 함수라는 개념이 나오는데, 거기에서도 '$p~$→$~q$'의 부정이 참임을 확인하는 내용이 등장합니다. 따라서 오늘의 포스팅 또한 개념의 심도 있는 이해를 위해 참고해 두시기 바랍니다.

 

명제 ‘$x> \sqrt{2}$이면 $x\geq \sqrt{6}$이다.’는 거짓이다. 다음 중 이 명제가 거짓임을 보이는 예가 될 수 있는 것은?  [2009.03/3점]

① $\frac{1}{2}$     ② $\sqrt{2}$     ③ $2$     ④ $\sqrt{6}$     ⑤ $\pi $

주어진 명제가 거짓임을 보이려면 $x> \sqrt{2}$이지만 $x\geq \sqrt{6}$이 아닌 즉, $x< \sqrt{6}$인 $x$를 제시하면 됩니다.

보기에서 $\sqrt{2}<x<\sqrt{6}$를 만족하는 수는 2 뿐이므로 답은 ③번입니다.

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