‘모든’이나 ‘어떤’이 있는 명제에 대한 자세한 이해 (고1수학 집합과 명제)

‘모든’이나 ‘어떤’이 있는 명제에 대한 자세한 이해 (고1수학 집합과 명제)

어떤 조류는 날지 못합니다. (그림 출처: pixabay)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 명제 파트의 세 번째 강의입니다. 저번 강의에서 조건에 들어있는 변수에 특정한 조건을 부여하면 명제가 된다고 얘기한 적이 있었죠. 이 시간에는 변수 앞에 '모든'이나 '어떤'이 들어간 명제에 대해 알아보겠습니다.

● 들어가기

다음 명제들의 참, 거짓을 판단해 볼까요?

모든 사람의 키는 2미터 이하이다. 어떤 사람의 키는 10미터 이상이다. 모든 실수 $x$에 대하여 $x^2\ge 0$이다. 어떤 소수는 짝수이다.

위의 네 문장이 모두 명제인 것은 이해할 수 있겠죠. '모든 사람의 키는 2미터 이하이다.'는 거짓인 명제입니다. 왜냐하면 소수이지만 2미터가 넘는 사람도 존재하기 때문이죠. '어떤 사람의 키는 10미터 이상이다.' 역시 거짓이죠. 인류 역사상 키가 10미터 이상인 사람이 존재한 일은 없으니까요.

'모든 실수 $x$에 대하여 $x^2\ge 0$이다.'는 참입니다. 실수이면 어떠한 수든 제곱하면 0 이상이 되죠. '어떤 소수는 짝수이다.' 역시 참입니다. 짝수이면서 소수인 2가 존재하기 때문입니다.

이와 같이 조건 $p$ 앞에다가 "모든 $x$에 대하여" 또는 "어떤 $x$에 대하여"를 붙여서 $x$의 범위를 지정해주면 명제가 됩니다.

 

● ‘모든’이나 ‘어떤’이 있는 명제의 참, 거짓

일반적으로 전체집합 $U$에 대하여 조건 $p$의 진리집합을 $P$라고 할 때, 명제

'모든 $x$에 대하여 $p$이다.'

가 참이라는 것은 어느 누구도 예외 없이 $p$를 다 만족한다는 뜻이 됩니다. 이 말은 '$\sim p$인 $x$는 존재하지 않는다'와 같은 의미죠. 따라서 $P=U$일 때 참이 되고 $P\ne U$이면 거짓이 됩니다.

또한, 명제

'어떤 $x$에 대하여 $p$이다.'

가 참이라는 것은 누군가는 $p$를 만족한다는 뜻으로 '$p$인 $x$가 (적어도 하나) 존재한다.'는 말과 같은 의미입니다. 따라서 $P\ne \varnothing$일 때 참이 되고 $P=\varnothing$이면 거짓이 됩니다.

이상으로부터 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

■ ‘모든’이나 ‘어떤’이 있는 명제의 참, 거짓
명제	모든 $x$에 대하여 $p$이다.	어떤 $x$에 대하여 $p$이다.
다른 표현	$\sim p$인 $x$는 존재하지 않는다.	$p$인 $x$가 (적어도 하나) 존재한다.
참일 조건	$P=U$	$P\ne \varnothing$
거짓일 조건	$P\ne U$	$P=\varnothing$

다음 추가 예시를 통해 개념을 익혀보세요.

자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학(하)

 

실수 $k$에 대한 조건

'모든 실수 $x$에 대하여 $x^2+6x+k\ge 0$이다.'

가 참인 명제가 되도록 하는 $k$의 최솟값을 구하시오.  [2018.11/3점]

문제의 부등식 $x^2+6x+k\ge 0$의 해가 모든 실수가 되도록 하라는 뜻이죠. 따라서 이차함수의 그래프를 공부했던 것처럼 식을 완전제곱꼴로 고쳐서 풀 수도 있고 이차부등식에서 풀었듯이 다음과 같이 판별식을 이용해도 됩니다.

$D=3^2-k\le 0$
$k\ge 9$

따라서 $k$의 최솟값은 9입니다.

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집합 $U=\{1,2,3,6\}$의 공집합이 아닌 부분집합 $P$에 대하여 명제 ‘집합 $P$의 어떤 원소 $x$에 대하여 $x$는 3의 배수이다.’가 참이 되도록 하는 집합 $P$의 개수를 구하시오.  [2015.09/3점]

간단한 문제 같지만 명제가 "어떤 $x$에 대하여"로 주어졌음에 주목하세요. 이 말은 집합 $P$가 3의 배수를 적어도 하나만 가지고 있으면 된다는 뜻입니다. 따라서 다음과 같이 나눠서 풀 수 있습니다.

1) 3은 속하고 6은 속하지 않는 $P$의 개수: $2^2=4$

2) 3은 속하지 않고 6은 속하는 $P$의 개수: $2^2=4$

3) 3과 6 둘 다 속하는 $P$의 개수: $2^2=4$

따라서 답은 $4+4+4=$12입니다. 

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● ‘모든’이나 ‘어떤’이 있는 명제의 부정

지난 강의에서 다음 예시를 든 적이 있었죠.

구분	곱으로 나타낸 결과	풀어서 나타낸 결과
조건	$p:ab=0$	$a=0$ 또는 $b=0$
조건의 부정	$\sim p:ab\ne 0$	$a\ne 0$ 그리고 $b\ne 0$

이것을 두 수의 곱이 아니라 여러 개의 수의 곱으로 확장하면 다음과 같습니다.

구분	곱으로 나타낸 결과	풀어서 나타낸 결과
조건	$p:a_1{a}_2\cdots a_n=0$	어떤 $k(k=1,2,\cdots ,n)$에 대하여 $a_k=0$ 이다.
조건의 부정	$\sim p:a_1{a}_2\cdots a_n\ne 0$	모든 $k(k=1,2,\cdots ,n)$에 대하여 $a_k\ne 0$ 이다.

이 예시에 의하면 '어떤 $x$에 대하여 $p$이다.'의 부정은 '모든 $x$에 대하여 $\sim p$이다.'입니다. 이러한 원리는 집합에서 드모르간의 법칙의 확장에서도 찾아볼 수 있습니다.

구분	집합의 연산으로 나타낸 결과	원소를 중심으로 표현한 결과
조건	$a\in A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n$	모든 $k(k=1,2,\cdots ,n)$에 대하여 $a\in A_k$ 이다.
조건의 부정	$a\notin A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n$ 즉, $a\in (A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n{)}^C$ $a\in A_1^C\cup A_2^C\cup \cdots \cup A_n^C$	어떤 $k(k=1,2,\cdots ,n)$에 대하여 $a\in A_k^C$ 이다. 즉, 어떤 $k(k=1,2,\cdots ,n)$에 대하여 $a\notin A_k$ 이다.

이 예시에 의하면 '모든 $x$에 대하여 $p$이다.'의 부정은 '어떤 $x$에 대하여 $\sim p$이다.'입니다.

 

위에서 정리한 내용에 의하면 '모든 $x$에 대하여 $p$이다.'의 다른 표현은 '$\sim p$인 $x$는 존재하지 않는다'이고, '어떤 $x$에 대하여 $p$이다.'의 다른 표현은 '$p$인 $x$가 존재한다'입니다. 이 표현을 통해 일반적으로 '모든'이나 '어떤'이 들어간 명제의 부정을 다음과 같이 구할 수 있습니다. 참고로 기호 '$\equiv$'는 동치 기호로서 서로 같은 의미를 나타내는 문장이라는 뜻입니다.

■ ‘모든’이나 ‘어떤’이 있는 명제의 부정
$\sim$ (모든 $x$에 대하여 $p$이다.) $\equiv$ $\sim$ ($\sim p$인 $x$는 존재하지 않는다.) $\equiv$ $\sim p$인 $x$가 존재한다. $\equiv$ 어떤 $x$에 대하여 $\sim p$이다.	$\sim$ (어떤 $x$에 대하여 $p$이다.) $\equiv$ $\sim$ ($p$인 $x$가 존재한다.) $\equiv$ $p$인 $x$는 존재하지 않는다. $\equiv$ 모든 $x$에 대하여 $\sim p$이다.

다음 예시를 통해 배운 개념을 익혀보세요.

자료 출처: EBS 수학의 왕도 수학(하)

 

'모든 한국인의 혈액형은 A형이다.'의 부정은?

① 모든 한국인의 혈액형은 A형이 아니다.
② 어떤 한국인의 혈액형은 A형이 아니다.
③ 한국인이 아닌 모든 사람의 혈액형은 A형이다.
④ 한국인이 아닌 어떤 사람의 혈액형은 A형이다.
⑤ 한국인이 아닌 어떤 사람의 혈액형은 A형이 아니다.

문제에서 주어진 명제는 거짓이죠. 이런 명제의 부정을 구할 때 실수할 수 있는 부분이 답을 ①번으로 찍는 것이죠. 하지만 ①번 또한 참이 아닙니다. 위에서 정리한 원리에 의하면 답은 ②번이 됩니다.

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앞의 예제2를 다시 풀어보겠습니다.

집합 $U=\{1,2,3,6\}$의 공집합이 아닌 부분집합 $P$에 대하여 명제 ‘집합 $P$의 어떤 원소 $x$에 대하여 $x$는 3의 배수이다.’가 참이 되도록 하는 집합 $P$의 개수를 구하시오.  [2015.09/3점]

주어진 명제가 참이 되도록 만드는 것을 바꿔서 표현하면 주어진 명제의 부정이 거짓이 되도록 만드는 것과 같습니다.

따라서 이 문제는 ‘집합 $P$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x$는 3의 배수가 아니다.’가 거짓이 되도록 하는 집합 $P$의 개수를 구하는 문제로 바꿔서 생각하면 예제2의 풀이보다 간단히 계산 할 수 있습니다.

그렇다면 모든 $x$가 3의 배수가 아니도록 하려면 집합 $P$는 원소가 1과 2로만 구성되어 있으면 되겠죠. 따라서 이를 만족하는 공집합이 아닌 $P$의 개수는 $2^2-1=3$이 됩니다.

이제 이 개수를 전체 부분집합의 개수에서 빼면 됩니다. 집합 $U=\{1,2,3,6\}$의 공집합이 아닌 부분집합의 전체 개수는 $2^4-1=15$개이므로 구하는 $P$의 개수는 15-3=12입니다.

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