점과 직선 사이의 거리 공식의 활용, 삼각형 넓이에 관한 사선(신발끈) 공식 이해 (고1 수학 도형의 방정식)
그림 출처: gettyimagesbank
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
지난 포스팅에서 점과 직선 사이의 거리 공식을 다양하게 증명하는 방법을 알아보았습니다. 이제 공식을 확실히 익히게 되었으니 오늘은 공식을 다양한 상황에 활용하는 방법을 알아보겠습니다.
핵심아이디어는 원의 중심에서 점 Q나 점 R까지의 거리가 반지름의 길이 5와 같으므로 원의 중심에서 직선 QR까지의 거리를 구할 수 있으면 거기에서 피타고라스 정리를 이용할 수 있습니다. 뒤에서 원의 방정식을 배울 건데 그때도 이 문제처럼 원의 기본 성질과 피타고라스 정리를 많이 이용할 수 있으므로 잘 숙지하시기 바랍니다.
직선의 방정식에 구하고자 하는 미지수 $m$이 있지만 두 직선 $y=2x$, $y=-\frac{1}{2}x$와의 교점을 각각 구한 다음 그 교점과 원점까지의 거리가 같음을 이용하면 $m$을 구할 수 있습니다. 단, 계산이 꽤 귀찮아지죠. 도형의 방정식에서는 중학교 때 공부했던 도형들이 많이 등장할 수 있는데, 중학교 때 배웠던 원리 그대로 접근하면 대부분 잘 풀립니다. 이 문제 역시 이등변삼각형의 주된 특징을 이용하면 수월합니다. 다음 그림과 길이가 같은 두 변을 끼고 있는 꼭짓점에서 각의 이등분선(초록색 반직선)을 그으면 마주 보는 변을 수직이등분 하는 특징을 이용합니다.
삼각형에 내접하는 원의 중심이라면 각 변에 이르는 거리가 모두 같다는 특징이 있죠. 우리는 이런 점을 삼각형의 내심이라고 중학교에서 배운 적이 있습니다. 여기서는 점 P의 좌표를 미지수로 놓고 세 변을 각각 포함하는 직선의 방정식을 구해서 점 P와의 거리가 모두 같다는 식을 세우면 P의 좌표를 구할 수 있는데 식을 여러 개 세우고 계산을 많이 해야 하니 4점짜리 문제로 출제된 바 있습니다.
● 평행한 두 직선 사이의 거리
점과 직선 사이의 거리 공식으로부터 두 직선 사이의 거리를 구하는 것도 가능합니다. 참고로 두 직선이 한 점에서 만나거나 일치하는 경우 거리는 0이므로 두 직선이 평행한 경우로 가정합니다. 두 직선 사이의 거리는 한쪽 직선에서 점을 적당히 잡은 다음 위의 공식을 통해 다른 직선과의 거리를 구하면 되므로 사실 공식으로 따로 정리하지 않아도 문제 상황에서 점과 직선 사이의 거리 공식만으로도 얼마든지 구할 수 있습니다.
평행한 두 직선을 $y=ax+by+c=0$, $y=ax+by+c'=0$으로 가정합니다. 두 직선이 평행하므로 기울기가 서로 같으니까 $x$와 $y$의 계수는 같다는 것을 참고하시고요. 위에서 언급한대로 직선 $y=ax+by+c'=0$ 위에 적당한 점 하나를 다음과 같이 잡습니다.
● 꼭짓점의 좌표가 주어진 삼각형의 넓이
삼각형은 다각형중 가장 기본적인 도형이라서 그 넓이를 구하는 문제는 매우 빈번하게 다루어집니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용하면 세 꼭짓점의 좌표가 주어진 삼각형의 넓이를 구하는 것 또한 가능합니다.
위의 그림과 같이 원점 $\textrm{O}$와 두 점 $\textrm{A}(x_1,~y_1)$, $\textrm{B}(x_2,~y_2)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\textrm{AOB}$의 넓이를 구해보겠습니다. 삼각형의 넓이를 구하는 원리는 밑변의 길이와 높이를 곱하고 반으로 나누는 것이죠. 이 삼각형에서는 변 $\textrm{AB}$를 밑변으로 하고 직선 $\textrm{AB}$와 원점 사이의 거리를 높이로 하여 삼각형을 구할 겁니다. 아이디어는 다 얘기했으니 다음의 과정을 보기 전에 스스로 유도해보는 연습도 한 번씩 해보시기 바랍니다.
위의 공식은 한 점이 원점일 때 써먹을 수 있죠. 그렇다면 삼각형의 세 꼭짓점 모두 원점이 아니라면 어떻게 구할 수 있을까요? 도형의 이동에서 배우겠지만 한 점이 원점이 되도록 평행이동을 하면 구할 수 있습니다.
삼각형의 넓이를 구하는 내용과 관련하여 학원에서는 학생들에게 꿀팁인것처럼 알려주는 공식이 있습니다. 바로 신발끈 공식이라 불리는 사선공식이죠. 이 공식은 세 점 모두 원점이 아닐 때도 일반적으로 삼각형의 넓이를 구해주는 방법인데 이 공식도 위의 방법을 통해 유도할 수 있습니다.
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