직선의 일반형 방정식 ax+by+c=0에 대한 자세한 이해 (고1수학 도형의 방정식)

직선의 일반형 방정식 ax+by+c=0에 대한 자세한 이해 (고1수학 도형의 방정식)

직선의 예

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 앞선 포스팅에서는 직선 y=mx+n에 대한 내용으로 직선을 구하는 공식부터, 위치 관계까지 다루었습니다. 이렇게 y에 대하여 풀어서 나타낸 방정식에서 m은 직선의 기울기를 나타내고, n은 y절편을 나타내므로 방정식의 각 계수들로 직선의 기본적인 성질을 알아볼 수 있죠. 이러한 형태의 방정식을 표준형이라고 부릅니다.

한편, 이 방정식을 우변을 0이 되도록 모두 좌변으로 이항하여 전개하면 ax+by+c=0의 꼴이 만들어지죠. 이러한 형태의 방정식을 일반형이라고 부릅니다. 이번 포스팅에서는 일반형 방정식으로 앞에서 했던 평행과 수직관계까지 알아보도록 하겠습니다.

 

● 방정식 ax+by+c=0이 나타내는 도형

 다음은 중학교 2학년 수학교과서에 있는 내용입니다.

위의 내용처럼 우리는 이미 중학교 2학년 때 $x$와 $y$의 일차식으로 이루어진 방정식 $ax+by+c=0$의 그래프는 직선을 나타낸다는 사실을 배웠습니다. 따라서 이 방정식은 상수 $a$, $b$의 값에 따라 다음의 세 가지 유형으로 나뉩니다.

 

● 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0의 교점을 지나는 직선의 방정식

실수 에 대하여 두 직선 $ax+by+c=0$, $a'x+b'y+c'=0$과 다르면서 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$(ax+by+c)m+a'x+b'y+c'=0$  $(m\neq 0)$

이 내용은 보통 교과서에는 소개가 잘 안 되어있고 참고서에 공식으로 나와 있거나 학원에서 알려줄 겁니다. 위의 내용을 공식처럼 외우고 있지 않아도 문제를 푸는 데 지장은 없으나 참고 삼아 식의 의미를 원리적으로 접근을 해보겠습니다. 우선 위의 식은 $x$, $y$에 대한 일차식이므로 그 그래프는 직선을 나타냅니다. 그리고 두 직선의 교점의 좌표는 두 방정식 $ax+by+c=0$과 $a'x+b'y+c'=0$을 모두 만족하기 때문에 식  $(ax+by+c)m+a'x+b'y+c'=0$ 또한 만족시키는 거죠. 그리고 교점을 지나는 직선은 무수히 많을 것이므로 그중에 어떤 직선을 만들지는 $m$의 값이 결정하는 겁니다.

이 원리에는 항등식의 개념이 들어있습니다. $Ax+B=0$이 $m$의 값에 상관없이 성립하려면 $A=B=0$이 성립해야 하죠. 마찬가지로 직선 $(ax+by+c)m+a'x+b'y+c'=0$은 $m$의 값에 상관없이 $ax+by+c=0$과 $a'x+b'y+c'=0$을 모두 만족하는 교점을 지나게 됩니다.

 

● 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0의 위치 관계

앞선 포스팅에서 두 직선 $y=mx+n$, $y=m'x+n'$의 위치 관계를 다음과 같이 정리하였습니다.

여기서는 두 직선을 $ax+by+c=0$, $a'x+b'y+c'=0$으로 나타내었을 때 각 위치 관계에 대한 조건이 어떻게 나타나는지 살펴보겠습니다.

두 직선의 방정식을 표준형으로 고치면 각각

이죠. 이것으로 위에서 정리했던 두 직선 $y=mx+n$, $y=m'x+n'$의 위치 관계에 대입하면 바로 다음의 결과를 얻을 수 있습니다.

각 식에서 $a$, $b$와 $a'$, $b'$는 $x$와 $y$의 계수이며 이들의 값은 직선의 기울기를 결정합니다. 따라서 평행과 일치 관계에서는 이들의 값의 비율이 같아야 함을 알 수 있습니다.

우리는 중학교 2학년 때 연립방정식 $\left\{\begin{matrix}ax+by+c=0\\a'x+b'y+c'=0\end{matrix}\right.$의 해는 두 직선 $ax+by+c=0$, $a'x+b'y+c'=0$의 위치 관계에 따라 다음과 같이 나누어짐을 배웠습니다.

따라서 위에서 정리한 결과는 연립방정식 $\left\{\begin{matrix}ax+by+c=0\\a'x+b'y+c'=0\end{matrix}\right.$의 해가 어떤 형태로 나타나는지 결정해 줄 수도 있습니다. 즉, $\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}\neq\frac{c}{c'}$이면 연립방정식의 해는 존재하지 않는 불능상태가 되고 $\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$가 되면 해는 무수히 많이 나오는 부정상태가 됩니다. $\frac{a}{a'}\neq\frac{b}{b'}$이면 해는 한 쌍으로 정해집니다.

다음 예제는 이전 포스팅에서 풀어본 문제입니다. 그때는 방정식을 표준형으로 바꿔서 풀었는데 여기서는 일반형에서 식 변형 없이 바로 풀어보겠습니다.

 

● 두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0의 수직 조건

이제 마지막으로 두 직선의 수직 관계를 알아보겠습니다. 직전 포스팅에서 두 직선이 수직이 되는 조건은 두 직선의 기울기의 곱이 -1이 되는 것임을 배웠죠. 

일반형으로 표현된 두 직선 $ax+by+c=0$, $a'x+b'y+c'=0$에서 기울기는 각각 $-\frac{a}{b}$와 $-\frac{a'}{b'}$이므로 이들을 곱한 값이 $-1$이 되어야 합니다. 따라서

이때, $b=0$인 경우 직선 $ax+by+c=0$은 $x=-\frac{c}{a}$로 $x$축과 수직인 직선이 됩니다. 따라서 직선 $a'x+b'y+c'=0$은 $y$축과 수직인 직선이 되어야 하므로 $a'=0$입니다. 따라서 이 경우에도 $aa'+bb'=a\times0+0\times b'=0$이 됩니다. 마찬가지로 $b'=0$인 경우에는 $a=0$이 되어 $aa'+bb'=0\times a'+b\times 0=0$이 됩니다.

거꾸로 두 직선 $ax+by+c=0$, $a'x+b'y+c'=0$에서 $aa'+bb'=0$ 즉, $aa'=-bb'$임을 먼저 가정해보겠습니다.

이상으로부터 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

나중에 기하 과목을 공부하면 벡터라는 개념이 등장하는데 두 벡터의 수직 조건에서 $aa'+bb'=0$와 같은 등식을 다시 만날 수 있습니다.

다음 예제 역시 이전 포스팅에서 풀어본 문제입니다. 그때는 방정식을 표준형으로 바꿔서 풀었는데 여기서는 일반형에서 식 변형 없이 바로 풀어보겠습니다.

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