원의 방정식의 일반형에 대한 자세한 이해 (고1수학 도형의 방정식)

원의 방정식의 일반형에 대한 자세한 이해 (고1수학 도형의 방정식)

경기장에서도 각종 룰이 적용되는 범위를 나타내기 위해 다양한 원이 활용됩니다. (그림 출처: gettyimagesbank)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 다룬 원의 방정식에 이어서 오늘은 원의 방정식의 일반형을 알아보겠습니다. 직선의 방정식에서도 알아봤듯이, 일반적으로 표준형 방정식은 방정식에 들어간 수치를 통해 도형의 특징을 알 수 있는 형태이고 일반형은 식을 모두 풀어서 정리한 형태라고 볼 수 있습니다.

● 원의 일반형 방정식

원의 방정식 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$은 원의 중심이 $(a,~b)$이고 반지름의 길이가 $r$이라는 원의 특징을 나타내고 있으므로 이러한 형태가 바로 원의 방정식의 표준형입니다. 반대로 이 식을 모두 전개하여 우변을 0으로 만든 식은 일반형이 되죠. 원의 방정식의 일반형을 알아보기 위해 방정식 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$을 전개하면

가 됩니다. 즉, $x^2$과 $y^2$이 있고 $x$에 대한 일차식 $-2ax$와 $y$에 대한 일차식 $-2by$가 있으며 상수 $a^2+b^2-r^2$이 있습니다. 이상으로부터 원의 방정식은 다음과 같이 $x$, $y$에 대한 이차방정식으로 나타남을 알 수 있습니다.

즉, 원의 방정식의 일반형은 직선의 방정식에 $x^2$, $y^2$이 추가된 모양이라고 보시면 됩니다. 여기에 임의의 상수 $K$를 곱하고 $KA=A'$, $KB=B'$, $KC=C'$으로 놓으면 다음과 같이 정리되죠. 이것은 $x^2$과 $y^2$의 계수가 같음을 의미합니다.

 

● 상수값의 범위에 따른 원의 결정

일반형을 다시 표준형으로 바꾸려면 식 $x^2+y^2+Ax+By+C=0$에서 $x$와 $y$에 대한 완전제곱식을 만들어야 하므로 상수 $C$를 우변으로 넘기고 양변에 $\frac{A^2}{4}$와 $\frac{B^2}{4}$을 각각 더합니다. 그러면

이 되어 표준형이 완성됩니다. 단, 이 방정식이 원을 나타내기 위해서는 추가적인 조건이 필요합니다. 우변이 반지름의 제곱이 되기 위해서 반드시 $\frac{A^2+B^2-4C}{4}>0$ 즉, $A^2+B^2-4C>0$이 성립해야 하는 것이죠. 이래야 비로소 그래프가 제대로 된 원을 그리게 되고 이때의 원을 ‘실원’이라 부르기도 합니다.

만약 $A^2+B^2-4C=0$이면 방정식은 $(x+\frac{A}{2})^2+(y+\frac{B}{2})^2=0$이 되고 이것을 만족하는 실수 $x$, $y$는 $x=-\frac{A}{2}$, $y=-\frac{B}{2}$가 유일하므로 이 방정식이 나타내는 그래프는 점 $(-\frac{A}{2},~-\frac{B}{2})$ 하나만 찍게 됩니다. 이 경우 원은 아니지만 원의 방정식 형태로 점을 표시하므로 이를 ‘점원’이라 부릅니다. 

만약 $A^2+B^2-4C<0$이면 방정식에서 이 음수가 되므로 이를 만족하는 실수 $x$, $y$는 존재하지 않습니다. 따라서 좌표평면 위에 그래프는 나타나지 않습니다. 즉, 원의 방정식 형태지만 허상의 원을 그린다는 의미로 이를 ‘허원’이라 부릅니다.

이상을 요약하면 다음과 같습니다. 물론 이 결과는 외우는 것이 아니라 이해하고 넘어가면 됩니다. 단, 앞으로 원의 방정식의 일반형이 등장하면 완전제곱으로 고쳐서 표준형으로 바꿀 줄 알아야 하며, 그 과정에서 반지름을 나타내는 값이 양수가 되어야만 원이 그려짐을 유의하시면 됩니다.

이상으로부터 원의 방정식은 다음의 특징을 만족하는 $x$, $y$에 대한 이차식이라 정리할 수 있습니다.

 

● 연습 문제 풀이

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