점과 직선 사이의 거리 공식의 다양한 증명 (고1수학 도형의 방정식)

점과 직선 사이의 거리 공식의 다양한 증명 (고1수학 도형의 방정식)

바다에서 가장 멀리 떨어진 파라솔은 어느것일까요? 이것은 바다와 육지의 경계를 직선으로 생각하고 파라솔을 점으로 생각하면 점과 직선 사이의 거리의 개념과 연결됩니다. (사진출처: pixabay)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 이전에 두 점 사이의 거리를 구하는 공식을 배웠는데 직선에서도 거리를 정의할 수 있습니다. 이번 포스팅에서는 점과 직선 사이의 거리를 구하는 방법을 알아보겠습니다. 일반적으로 거리는 두 도형을 연결하는 가장 짧은 선분의 길이로 정의됩니다.

 

● 점 P(x₁, y₁)과 직선 ax+by+c=0 사이의 거리 공식

점과 직선 사이의 거리는 점에서 직선에 내린 수선의 발까지의 거리로 정의됩니다. 즉, 다음 그림에서 점 $\textrm{P}(x_1, y_1)$와 직선 $l$사이의 거리는 선분 $\textrm{PH}$의 길이로 정의됩니다.

이제 좌표평면에서 직선 $l$의 방정식을 $ax+by+c=0$이라 할 때 점 $\textrm{P}(x_1, y_1)$와 이 직선 사이의 거리를 구해보겠습니다. 이 거리는 선분 $\textrm{PH}$의 길이와 같으므로 직선 $\textrm{PH}$가 직선 $l$과 수직임을 이용하여 직선의 방정식을 구한 다음, 방정식 $ax+by+c=0$과 연립하여 교점 $\textrm{H}(x_2, y_2)$의 좌표를 구하고 두 점 $\textrm{P}$, $\textrm{Q}$사이의 거리를 구하는 과정을 통해 다음의 공식을 만들 수 있습니다.

공식에서 직선의 방정식이 일반형으로 주어졌다는 것에 주목하시고요. 표준형 $y=mx+n$에서 생각하고 싶으면 $mx-y+n=0$으로부터 다음 식을 유도할 수도 있으나 일반형에 비해 특별한 의미가 보이자는 않으므로 보통, 점과 직선 사이의 거리를 구할 때는 직선의 일반형 방정식을 이용합니다.

 보시다시피, 점의 좌표부터 직선의 방정식의 각 항의 계수까지 총 5개의 변수가 들어가기 때문에 꽤 복잡한 공식입니다. 결과물 자체가 이렇게 복잡하게 생겼으므로 이 공식을 유도하는 것은 위에서 그 방법만 대략 언급했으나, 구체적인 계산과정은 고등학교 수학 전 과정을 통틀어서 가장 복잡하다고 볼 수도 있습니다. 따라서 모든 사설 참고서에는 유도과정 없이 공식만 제시되어있으며, 학교나 학원 어디에서든 교과서에 소개된 유도과정을 수업 시간에 풀로 다루어주는 경우는 거의 없고 공식만 암기시켜서 문제 풀이로 넘어가는 것이 일반적입니다.

오늘의 포스팅에서는 교과서나 참고서 어디에서도 설명해주지 않는 다양한 증명을 해보겠습니다. 아래의 증명을 아는 것이 내신 시험 대비에 필수 요소는 아니지만, 이 과정에서 유익한 아이디어를 담아갈 수 있으니 잘 참고하시기 바랍니다.

 

● 교과서의 증명

첫번째 증명법은 교과서에 실린 유도과정입니다. 계산은 가장 복잡하지만 도형의 방정식 파트에서 배운 내용들을 기본 아이디어로 하고 있습니다.

위의 그림에서 우리의 목표는 $\overline{\textrm{PH}}= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$을 구하는 것이므로 두 식 $x_2-x_1$, $y_2-y_1$에 대한 관계식을 세우는 방향으로 접근합니다.

우선 핵심이 되는 경우인 $a\neq 0$, $b\neq 0$인 경우부터 가정해보면 그 유도과정은 다음과 같습니다.

이렇게 해서 길고 복잡했던 증명이 끝납니다. 직선의 방정식에서 배운 개념들을 종합하고 있으므로 각 과정에 들어간 원리를 잘 파악해보시기 바랍니다.

이제 $a=0$ 또는 $b=0$인 경우는 어떻게 되는지도 마저 정리해보겠습니다.

 

● 직각삼각형의 넓이를 이용한 증명

가장 무난한 증명법은 직각삼각형의 넓이를 구하는 원리를 이용하는 것입니다. 중학교에 입학하고 수학 시간에 직각삼각형의 넓이를 이용하여 대변과 마주 보는 점까지의 거리를 구하는 연습은 한 번쯤은 해보셨을 텐데, 여기서는 그 원리를 그대로 이용합니다. $a=0$ 또는 $b=0$인 경우는 위에서 다룬 과정과 같으므로 $a\neq 0$, $b\neq 0$인 경우만 가정해서 유도해보겠습니다.

이렇게 구하면 아이디어도 어렵지 않고 계산도 교과서 유도과정에 비해 많이 간단해졌죠. 실제로 점과 직선 사이의 거리가 필요한 문제에서 공식이 필요 없이 이러한 원리로 편하게 구할 수 있는 경우도 있습니다. 다음 예제는 고등학교 수학 교과서의 문제인데 방정식이나 거리 공식 없이 중학교 개념만 가지고 풀어보고 넘어가도록 하겠습니다.

 

● 평행사변형의 넓이를 이용한 증명

위의 방법도 계산이 복잡하게 느껴지신다면 가장 짧은 방법은 따로 있습니다. 단, 이 방법은 보조선을 많이 그리면서 아이디어를 떠올리는게 다소 어렵지만, 중학교 1, 2학년 수준의 개념만을 이용하고 있으므로 도형 연습 삼아 참고해보시기 바랍니다. 마찬가지로 $a\neq 0$, $b\neq 0$인 경우만 가정해서 세상에서 가장 짧은 점과 직선 사이의 거리 공식의 유도과정을 보여드리겠습니다.

설명이 많아서 그렇지 계산 수식만 모아 놓으면 4~5줄이면 유도할 수 있는 과정이죠. 위에서는 평행사변형의 넓이를 이용하여 공식을 유도했는데 위의 그림에서 삼각형 ABC와 삼각형 PHA가 서로 닮음을 이용해도 거리 $d$를 구할 수 있습니다. 이 방법은 여러분들에게 숙제로 남길 테니 스스로 연습 삼아 해보시길 바랍니다.

위의 과정으로부터 거리 공식의 분모에 들어가는 식 $\sqrt{a^2+b^2}$은 직선의 기울기를 표현하는 직각삼각형의 빗변의 길이임을 알 수 있었습니다. 또한, 공식에 분자에 들어간 식 $\left|ax_1+by_1+c \right|$는 직선의 방정식에 점 $\textrm{P}(x_1, y_1)$의 좌표를 대입한 모양이죠. 이 식은 밑변의 길이가 $\sqrt{a^2+b^2}$이고 높이가 $d$인 평행사변형 또는 세로의 길이가 $d$인 직사각형의 넓이를 의미한다는 사실을 알 수 있었습니다. 만약 점 $\textrm{P}(x_1, y_1)$가 직선 위의 점이라면 $\left|ax_1+by_1+c \right|=0$이 되면서 거리가 0이 되므로 이때도 거리 공식이 유효함을 참고할 수 있습니다.

오늘 소개해드린 공식 유도과정은 여기까지입니다. 공식의 활용은 다음 포스팅에서 다루도록 하겠습니다!

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