인수분해를 활용한 복잡한 수의 계산 (고1 수학 다항식)

 

 

인수분해를 활용한 복잡한 수의 계산 (고1 수학 다항식)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015 개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 차순 정리를 이용하여 복잡한 식을 인수분해 하는 방법을 알아봤습니다. 오늘은 인수분해 파트를 마무리하는 단계로 인수분해를 활용하여 계산을 간단히 할 수 있는 경우를 알아보겠습니다.

 

● 들어가기

 서두에 제시된 문제를 풀어보셨나요? 소인수분해는 중학교에 입학해서 수학 시간에 가장 먼저 배우는 내용이죠. 그런데 수가 좀 커서 바로 떠올리긴 힘들 겁니다. 2491의 소인수분해를 어떻게 할 수 있을까요?

여기에서 사용되는 원리가 바로 인수분해이고 우리가 알고 있는 가장 흔하면서도 기본적인 다음의 인수분해 공식을 이용합니다.

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

따라서 주어진 수 2491은 다음과 같이 소인수분해됩니다.

$2491=2500-9=50^2-3^2$
$=(50-3)(50+3)=47\times 53$

이와 같이 인수분해는 주로 방정식을 풀 때 사용되나 위에서처럼 복잡한 수를 간단히 계산하기 위해 활용되기도 합니다. 이제 고등학교 수준에서 새로 배운 인수분해를 활용한 문제를 풀어보겠습니다.

 

● 연습문제 풀이

 

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$999973$이 소수가 아님을 증명하시오.  [미래엔 수학]

$1$과 자기 자신인  $999973$ 사이의 자연수 중에서 이 수를 나누어 떨어뜨릴 수 있는 수를 찾으면 되는 문제인데 역시나 수가 커서 막연한 계산으론 쉽지 않죠. 서두에서도 다루었듯이 이런 문제는 인수분해를 적용할 수 있는 형태를 떠올려서 적절히 변형을 해주는 게 핵심입니다.

$999973=1000000-27=100^3-3^3$

이렇게 하면 다음과 같이 공식 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$을 적용하는 게 가능합니다.

$=(100-3)\times (100^2+100\times 3+3^2)$
$=97\times 10309$

즉, $999973$은 $97$ 또는 $10309$로 나누어 떨어지므로 합성수임이 증명됩니다.

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