안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
계속해서 인수분해에 대해 얘기해 보겠습니다. 이제 점점 난이도가 어려운 인수분해도 다룰 건데요. 이 시간에는 문자가 여러 개인 복잡한 인수분해는 어떻게 하는지 알아보겠습니다.
● 들어가기
서두에 첨부한 그림은 맨 처음 다항식과 관련된 기초 개념을 배울 때 작성했던 포스팅의 일부분입니다. 돈을 세어야 할 때 액수가 큰 것부터 순서대로 세어보면 편리하듯이 다항식도 문자가 여러 개로 복잡하게 되어있을 때는 차순 정리를 해야 어떤 다항식인지 알아보기 좋죠. 다음과 같은 복잡한 다항식을 인수분해 할 때는 차순정리가 문제 해결을 위한 첫출발이 됩니다.
$2x ^{2} -xy-y ^{2} +3x+1$
위의 식은 전체적으로 차수가 큰 항이 왼쪽에 있고 간단한 항이 오른쪽에 있는 방식이죠. 이렇게 쓰는 것이 일반적이긴 하나 인수분해를 할 때는 별로 도움이 되지 않습니다. 이런 다항식을 인수분해하는 요령은 주어진 식에서 하나를 문자로 보고 나머지는 상수처럼 생각해서 그 문자에 대하여 차순 정리를 하는 거예요. 위의 문제에서는 $x$에 대하여 내림차순으로 정리를 하면
$2x^2+(-y+3)x-(y-1)(y+1)$
가 되어 이차항의 계수는 $2$, 일차항의 계수는 $-y+3$, 상수항은 $-(y-1)(y+1)$인 이차식이 됩니다.
그럼 이제 여기서 이차식을 인수분해할 때랑 같은 원리를 이용하면 됩니다. 즉 다음의 인수분해 공식을 위의 식에다가 적용하는 거죠.
$acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$
즉, 다음과 같이 곱해서 $-(y-1)(y+1)$이 되고, 더해서 $-y+3$이 되는 조합을 찾아줍니다.
문자가 3개나 되고 차수가 3이나 되어 상당히 복잡해 보이는데 여기서 한 문자에 대하여 차순 정리를 할 때는 차수가 적은 문자를 택하는 것이 좋습니다. 따라서 이 문제는 $b$에 대하여 내림차순으로 정리하면
$( a+c ) b^{2} +a^{3} +a^{2} c-ac^{2} -c^{3} =0$
$b$가 없는 나머지 항들도 차순으로 정리를 해봤습니다. 여기서부터는 식 $a ^{3} +a ^{2} c-ac ^{2} -c ^{3}$ 에다가 인수분해의 가장 기본이 되는 분배법칙을 적용하여 다음과 같이 나타냅니다. 어떤 인수분해를 하든 공통인수를 찾아주는 것이 가장 중요합니다.
여기까지는 대략 완성이 됐는데 오른쪽 식에 $a$가 삼차항까지 있어서 그다음을 어떻게 해야 할지 막막하죠. 그런데 첫 과정에서 $-(b-c)$를 덜어냈으므로 남은 식에는 $b$와 $c$가 최대 2개까지만 곱해진 것을 알 수 있어요. 따라서 여기서는 오른쪽 식을 다음과 같이 $b$에 대하여 다시 내림차순으로 정리해 줍니다.
이제 예제2번과 같이 식 $a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)$를 $b$나 $c$에 대하여 차순 정리를 할 수 있는데 주어진 식이 삼대칭이었다는 사실로 봤을 때 인수로 $b-c$가 나왔으면 $c-a$와 $a-b$ 또한 인수로 나오지 않을까 짐작해 볼 수도 있어요. 실제로 식 $a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)$에 $a=c$를 대입하면
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