인수분해 전략을 활용한 여러 가지 인수분해 공식 유도하기 (고1 수학 다항식의 인수분해 심화)

인수분해 전략을 활용한 여러 가지 인수분해 공식 유도하기 (고1 수학 다항식)

표는 고등학교 교육과정에 제시된 인수분해 공식입니다. (https://holymath.tistory.com/entry/인수분해의-기초)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서는 인수분해를 다양한 계산 문제에 활용하는 방법을 알아봤는데요. 이 포스팅에서는 지금까지 알아본 인수분해 전략을 이용하여 여러 가지 인수분해 공식을 총 정리해 보도록 하겠습니다. 인수분해 공식은 사실 곱셈공식과 똑같고, 곱셈 공식은 다항식의 곱셈을 공부할 때 인수분해가 되어있는 식을 전개함으로써 결과물을 확인해 봤기 때문에 모든 교과서에서는 인수분해 공식은 별도의 유도과정 없이 제시합니다. 그러나 전개된 식에서 반대방향으로 유도하는 과정을 직접 해보면 그동안 배운 인수분해 전략을 정리할 수 있고 공식을 더 깊이 이해하는데 도움이 될 것입니다.

 

● 공식 a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) 유도하기 (인수정리 이용)

세제곱 인수분해 중에서 가장 간단하면서도 그 활용도 또한 높은 공식이죠. 우리가 배운 인수분해 전략 중에서도 가장 중요한 게 인수정리이므로 이 방법으로 다음과 같이 간단히 유도할 수 있습니다.

---

$a=b$를 대입하면 $a^3-b^3=0$이므로 본 식은 $a-b$로 나누어 떨어진다. 따라서 다음 조립제법에 의해

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

---

이제 유도한 식에서 $b$ 대신 $-b$를 대입하면 다음의 식도 함께 유도할 수 있습니다.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

 

● 공식 a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³ 유도하기 (공식 이용)

세제곱에 대한 첫 번째 인수분해 공식이죠. 이 식은 각 항의 계수가 좌우 대칭을 이루는 상반다항식이므로 $a=-b$를 대입하면 마찬가지로 인수정리를 이용할 수도 있습니다. 그런데 우리가 인수분해 문제를 풀 때 첫 번째로 공부했던 전략이 공식 활용이었죠. 여기서는 위에서 유도한 공식 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$을 활용하여 이 식을 어렵지 않게 유도할 수 있어요.

---

이 식은 상반다항식의 특징을 보이므로 계수가 같은 항끼리 묶으면

$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a^3+b^3)+(3a^2b+3ab^2)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$로 인수분해하고 정리하면

    $(a+b)(a^2-ab+b^2)+(3a^2b+3ab^2)$
    $=(a+b)(a^2-ab+b^2)+3ab(a+b)$
    $=(a+b) \left\{ (a^2-ab+b^2)+3ab \right\}$
    $=(a+b)(a^2+2ab+b^2)=(a+b)(a+b)^2$
    $=(a+b)^3$

---

이제 유도한 식에서 $b$ 대신 $-b$를 대입하면 다음의 식도 함께 유도할 수 있습니다.

$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$

 

● 공식 a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)² 유도하기 (차순 정리)

위와 같이 문자가 여러 개인 식은 문자 하나를 잡아서 차순으로 정리하면 된다고 배웠죠. 이 식을 $c$에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해 해보겠습니다. 중간 과정에서 $a+b$를 다른 문자로 치환하면 잘 보이겠지만, 안 해도 이 정도는 할 수 있겠죠?

---

    $a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2ab+2bc+2ca$
    $=c ^{2} +(2a+2b)c+(a ^{2} +2ab+b ^{2})$
    $=c ^{2} +2(a+b)c+(a+b)^2$
    $=\left\{c+(a+b) \right\}^2$

---

이제 기본 공식 유도는 다 했습니다. 그런데 사교육계를 들여다보면 인수분해 공식을 이 정도만 알려주고 끝내는 학원은 어디에도 없죠. 이 포스팅을 통해 더 다양한 인수분해 공식도 유도해 보겠습니다.

반응형

● 공식 x³+(a+b+c)x²+(ab+bc+ca)x+abc=(x+a)(x+b)(x+c) 유도하기 (차순 정리)

문자가 4개나 되므로 여기서도 필요한 건 차순정리입니다. 위의 식은 $x$에 대하여 차순정리가 되어있는데 그 차수가 높으므로 다른 문자를 잡고 차순정리를 시도하면 돼요. 여기서도 $c$를 기준으로 정리하면 다음과 같이 인수분해 할 수 있습니다.

---

---

 

● 공식 a⁴+a²b²+b⁴=(a²-ab+b²)(a²+ab+b²) 유도하기 (A²-B²꼴 치환)

사교육계에서 공식처럼 암기시키는 식인데 하나의 유형으로 생각하시면 됩니다. 공통인수가 보이지 않고 차순정리, 인수정리도 안 통하는 이 식은 $A^2-B^2$ 전략을 이용합니다.

---

    $a ^{4} +a ^{2} b ^{2} +b ^{4}$
    $=a ^{4} +$ $2a ^{2} b ^{2}$ $+b ^{4}$ $-a ^{2} b ^{2}$
    $=(a^2+b^2)^2-(ab)^2$
    $=(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$

---

또는 공식 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$을 응용하여 다음과 같이 유도할 수도 있어요.

 

● 공식 (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(b+c)(c+a) 유도하기 (차순 정리)

다음은 네이버 지식백과에서 제시하는 인수분해 공식들입니다.

가운데에 유도할 식이 제시된 게 보이죠. 이 식도 공식이라기보다는 하나의 유형으로 보시면 됩니다. 문자가 여러 개이므로 다음과 같이 $a$를 기준으로 정리하여 인수분해 할 수 있습니다.

---

    $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
    $= \left\{a+(b+c) \right\} \left\{a(b+c)+bc \right\}-abc$
    $= (b+c)a^2+(b+c)^2a+abc+bc(b+c)-abc$
    $= (b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c)$
    $= (b+c)\left\{a^2+(b+c)a+bc \right\}$
    $= (b+c)(a+b)(a+c)=(a+b)(b+c)(c+a)$

---

 

● 공식 a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) 유도하기 (종합)

이제 끝판왕 공식이 남았습니다. 결과 차제가 길어서 반대로 전개하는 게 오히려 더 복잡한 공식이에요. 이걸 어떻게 인수분해할까 싶지만 곱셈 변형식 $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$와 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$을 차례대로 이용하면 다음과 같이 몇 줄 안 쓰고 유도할 수 있습니다.

---

---

위의 인수분해 결과에서 식 $a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca$는 곱셈 공식의 변형 파트를 공부할 때 다음과 같이 변형할 수 있음을 알아봤습니다. (관련 글: https://holymath.tistory.com/entry/다항식-곱셈공식의-다양한-활용문제)

이 식은 $a=b=c$일 경우 0이 되는 특징을 가지고 있죠. 즉, 주어진 인수분해 공식은 $a+b+c=0$이거나 $a=b=c$이면 0이 되므로 다음과 같이 정리할 수도 있습니다.

$a+b+c=0$ 또는 $a=b=c$이면 $a^3+b^3+c^3=3abc$

 

다음 식을 인수분해 하시오.

$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$

세제곱식 안에 들어있는 $x-y$, $y-z$, $z-x$를 각각 $A$, $B$, $C$로 치환하면 다음이 성립합니다.

$A+B+C=(x-y)+(y-z)+(z-x) =0$

따라서 위에서 정리한 식 $a^3+b^3+c^3=3abc$에다 문제의 식을 대입하면 다음과 같이 인수분해됩니다.

$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)$

---

 

♥ 이해가 잘 되셨다면 좋아요와 선플은 포스팅 강의 제작에 큰 힘이 됩니다.
♥ 이해가 잘 안 되신 부분은 댓글을 통해 질문을 주세요.
♥ 본문의 내용은 추가, 보완될 수 있습니다.