안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
지난 포스팅에서 복소수를 이용하여 음수의 제곱근을 정의하고 구하는 법을 알아보았습니다. 복소수 단원을 끝내기 전에 복소수와 관련된 문제 중 흔히 출제되는 복소수의 거듭제곱에 대한 얘기를 해보고자 합니다.
복소수는 대체로 거듭제곱을 하면 간단한 실수가 만들어지는 경향이 있습니다. 특히, 그중에는 거듭제곱을 하여
다음 문제를 풀어볼까요?
이렇게 단순히 몇 번 곱하면 그 패턴이 드러나서 답을 구할 수 있는 형태의 문제인데 문제에서 수식을 어떻게 제시하느냐에 따라 꽤나 귀찮은 계산을 해야 할 수도 있죠. 물론 반복적인 계산만으로도 웬만한 문제는 거의 해결할 수 있습니다. 왜냐하면 지금부터 소개하는 내용은 고등학교의 교육과정을 훨씬 뛰어넘는 내용이니까요.
혹시 복소수에서 왜 이런 패턴이 나타나며 이러한 패턴을 보이는 복소수는 어떤 특징을 가지고 있는지 궁금증을 가진 분들이 있다면 오늘 소개하는 내용이 그 해답이 됩니다.
복소수가 실수와 다른 점은 하나의 복소수를 결정하기 위해 실수부분과 허수부분의 두 수가 필요하다고 말한 적이 있었죠. 따라서 지금까지 실수를 표현한 것과 다르게 수직선 위에는 허수를 표현할 수 없고 다음과 같이 좌표평면 위의 점의 좌표를 표현하는 것처럼 평면좌표를 도입해야 합니다.
이때, 가로축은 실수부분, 세로축은 허수부분이 되는데 이런 좌표평면을 복소평면이라고 합니다. 일반적으로 실수
예를 들어, 복소평면에서
고등학교 교육과정에서는 소수에 대해서는 절댓값을 정의한 적이 없었지만, 복소수에서도 절댓값을 정의할 수 있습니다. 여러분이 실수에서의 절댓값의 정의를 어떻게 기억하고 계실지는 모르겠지만 절댓값이란 단순히 마이너스를 없애는 개념이 아니고 그 실수에서 원점까지의 거리를 의미해요. 예를 들어
이러한 원리를 확장해서 복소수의 절댓값은 그림과 같이 복소평면에서의 복소수가 나타내는 점과 원점까지의 거리를 의미합니다.
이 거리를
켤레복소수를 이용하여 표현하면
복소수는 그 자체로는 대소비교를 할 수 없지만, 절댓값의 개념을 이용하면 복소수끼리도 대소비교가 가능해집니다.
이와 같이 복소수를 평면에 표현하면 그로 인해 원점과의 거리로서 절댓값을 정의할 수 있고 그림처럼 원점까지 이은 선분이 가로축인 실수축과 이루는 각
이 각
중요한 것은 원점까지의 거리
이 식을 복소수의 극형식이라고 합니다. 예를 들어 복소평면에서 허수
그럼 이 수의 절댓값은
이제 오늘의 강의에서 소개할 개념의 종착지까지 왔습니다. 위에서 복소수의 극형식에 대해 알아봤는데 여기서 특별히
이 놀라운 정리는 이름 그대로 프랑스 출신의 영국 수학자 드무아브르(1667~1754)가 만든 것으로 일반적으로
예를 들어 복소수
그리고 이 값들을 복소평면에 나타내면 다음 그림과 같습니다.
보다시피 처음
위에서 풀었던 예제1을 배운 내용으로 다시 풀어보겠습니다.
이와 같이 드무아브르의 정리를 활용하면 절댓값이 1인 복소수의 거듭제곱을 계산하는데 매우 유용합니다. 또한, 절댓값이 1이 아니더라도 식을 적절히 변형한 다음 편각을
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