음수의 제곱근 및 그 기본 성질에 대한 자세한 이해 (고1 수학 방정식과 부등식)

음수의 제곱근 및 그 기본 성질에 대한 자세한 이해 (고1 수학 방정식과 부등식)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 이전까지 포스팅에서 허수와 복소수를 도입하고 그 사칙연산을 공부했으며, 켤레복소수의 성질까지 알아보았습니다. 혹시 복소수가 도입된 배경을 기억하고 계신가요? 숫자 같지도 않은 허수단위 $i$를 만들어서 더 복잡한 수체계를 만든 이유는 다름 아닌 $x^2=-1$과 같은 방정식의 해를 정의하기 위해서였죠. 여기서 $x$는 $-1$의 제곱근이 되는데 즉, 음수의 제곱근을 정리하기 위해 $i$는 반드시 필요한 존재예요. 이번 포스팅에서는 음수의 제곱근과 그 기본 성질에 대해 알아보도록 하겠습니다.

● 음수의 제곱근

제곱근은 제곱의 반대 개념으로 수식 $x^2=a$에서 $a$는 $x$의 제곱이라 부르고 $x$는 $a$의 제곱근이라 부릅니다. 즉, 어떤 수의 제곱근이란 제곱해서 그 수를 만들 수 있는 수를 의미하죠. 즉, 제곱근은 2차 방정식의 근이므로 일반적으로 2개 존재합니다. 그럼 루트 기호가 씌어진 $\sqrt{a}$는 무엇이냐? 이 수는 제곱근을 일반적으로 통칭하는 게 아니라 2개의 제곱근 중에 딱 하나의 수를 이렇게 쓰기로 약속한 거예요. 그래서 중3 때 제곱근을 배울 때 양수 $a$의 제곱근은 음수와 양수 두 개가 존재하는데 그중에 양수를 $\sqrt{a}$라 부르기로 약속한 겁니다. 그럼 음의 제곱근은 자연스럽게 $-\sqrt{a}$가 되니까요. 즉, 다음의 내용이 우리가 중학교에서 배운 제곱근의 개념이고 이때, $\sqrt{a}$를 우리말로 읽을 때는 "제곱근 $a$"라고 읽습니다.

양수 $a$에 대하여 $\sqrt{a}$ : 제곱하여 $a$가 되는 양수 즉, $a$의 제곱은은 $\sqrt{a}(>0)$와 $-\sqrt{a}(<0)$이다. $0$의 제곱근은 $0$뿐이므로 $\sqrt{0}=0$

 

이제 음수의 제곱근을 알아보기 위해 허수 단위 $i$를 도입합니다. 이미 우리는 이전 포스팅에서 제곱해서 음수가 되는 복소수는 순허수임을 알아봤죠. 예를 들어 대표이미지에 제시한 대로 $2i$를 제곱하면

$(2i{)}^2=4i^2=-4$

따라서 $2i$는 $-4$의 제곱근이 돼요. 마찬가지로

$(-2i{)}^2=4i^2=-4$

이므로 $-2i$ 또한 $-4$의 제곱근이 됩니다. 즉, $-4$의 제곱은 $2i$와 $-2i$입니다. 그렇다면 이중에 누굴 $\sqrt{-4}$로 약속하면 될까요? 역시 좀 더 간단한 수인 $2i$로 정의하면 되겠죠.

즉, 음수의 제곱근은 다음과 같습니다.

■ 음수의 제곱근

$a>0$일 때, ① $\sqrt{-a}=\sqrt{a}i$ ② $-a$의 제곱근은 $\sqrt{-a}$와 $-\sqrt{-a}$    즉, $\sqrt{a}i$와 $-\sqrt{a}i$이다.

문제에서 $\sqrt{-a}$가 등장하는 경우 다음과 같이 제곱근의 성질을 적용해서 변환해도 무방합니다.

$\sqrt{-a}=\sqrt{a\times (-1)}=\sqrt{a}\times \sqrt{-1}=\sqrt{a}i$

 

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● 음수의 제곱근의 기본 성질

 우리는 중학교 3학년 때 근호가 포함된 식의 계산을 배우면서 다음과 같은 성질을 배웠습니다.

 여기서 주목할만한 점은 $a$, $b$가 양수라는 점입니다. 우리는 이제 저 근호 안에 음수가 들어간 계산도 할 것이므로 이 성질이 계속 유지되는지 확인할 필요가 있어요. 먼저 제곱근의 곱셈부터 알아보겠습니다. $a$, $b$를 계속 양수로 놓고 음수는 마이너스 부호를 붙여 나타내겠습니다.

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① 하나는 음수, 하나는 양수인 경우

② 둘 다 음수인 경우

 다음은 제곱근의 나눗셈을 알아보겠습니다.

① 분모는 음수, 분자는 양수인 경우

② 분모는 양수, 분자는 음수인 경우

③ 분모, 분자 모두 음수인 경우

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위의 결과를 정리하면 제곱근의 곱셈에서는 다른 경우에는 변화가 없는데 $a$, $b$가 모두 음수인 경우에만 $\sqrt{ab}=-\sqrt{a}\sqrt{b}$로 마이너스 부호가 붙음을 알 수 있습니다. 그 이유는 다름 아닌 $i^2=-1$이라는 $i$가 가진 근본적인 특징 때문이에요. $a$, $b$가 둘 다 음수이면 계산 과정에서 $i$가 두 개 튀어나와 그들이 모여 $-1$을 만들면서 이 결과를 만드는 겁니다.

또한, 제곱근의 나눗셈에서는 다른 경우에는 변화가 없는데 분모는 음수이고 분자는 양수인 경우에만 마이너스가 붙습니다. 그 이유는 $i$가 가진 다음의 특징 때문이에요.

즉, 분모만 음수이면 분모에서 $i$가 튀어나오고 이것이 분자로 옮겨지면서 마이너스 부호를 만드는 겁니다.

이상으로부터 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 대한 성질을 정리하면 다음과 같습니다.

기본적인 교육과정에서 음수의 제곱근을 반드시 배우기 때문에 여기까지 정리하는 것이 기본이 되어야 할 텐데 이상하게도 이러한 기본성질까지 제시하는 교과서는 거의 없으며, 교육과정에도 명시되어 있지 않습니다. 옛날에는 아래와 같은 유형의 문제가 학력평가에서 출제된 일이 있었지만, 현 교육과정은 문제의 유형을 공식처럼 암기해서 푸는 것을 지양하고 있으며 이 문제도 결국 유형 암기에 해당된다고 여겨졌기 때문인지 요즘에는 출제하는 일이 거의 없어요. 그래도 이 문제를 통해 음수의 제곱근의 기본성질에는 예외적으로 마이너스가 붙는 경우가 존재한다는 것을 유의하시기 바랍니다.

 

   ① $2x$        ② $-y$      ③ $2x-y$      
   ④ $y-2x$     ⑤ $x-2z$ 

조건 식에서 다음과 같이 마이너스 부호가 있는 것에 먼저 주목하세요. 이게 성립하는 경우는 $y$가 음수이고 $z$가 양수인 경우뿐입니다.

이제 식 $\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ 가 성립하는데 $y$가 음수라면 $x$는 어떤 수가 되어야 할까요? 만약 $x$까지 음수라면 마이너스 부호가 붙어야 하므로 여기서 $x$는 반드시 양수임을 알 수 있습니다. 이제 구하려는 식에서 절댓값을 각각 풀어보도록 하겠습니다.

$x-y$는 양수에서 음수를 뺀 것이므로 이 수는 양수이고 따라서

$|x-y|=x-y$

$y-z$는 음수에서 양수를 뺀 것이므로 이 수는 음수이고 따라서

$|y-z|=-y+z$

마찬가지로 $x-y+z$는 양수이므로

$\sqrt{(x-y+z{)}^2}=|x-y+z|=x-y+z$

따라서 주어진 식은

   $|x-y|+|y-z|-\sqrt{(x-y+z{)}^2}$
   $x-y-y+z-(x-y+z)=-y$

따라서 답은 ②번입니다.

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