켤레복소수에서 필수로 알아야 할 사칙연산에 대한 기본 성질 (고1 수학 방정식과 부등식)

켤레복소수에서 필수로 알아야 할 사칙연산에 대한 기본 성질 (고1 수학 방정식과 부등식)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 복소수의 사칙연산을 다루고 각종 연산 문제를 풀어보았는데요. 복소수의 계산에서 빠질 수 없는 것이 켤레복소수입니다. 오늘은 켤레복소수가 포함된 사칙연산에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

● 켤레복소수의 기본 성질

복소수 연사 문제를 풀다 보면 대표 이미지에서 보셨듯이 바($\stackrel{―}{}$)가 식 하나에다 통째로 씌어져 있는 걸 보는 경우가 많이 있습니다. 이런 경우는 작대기 내부의 식을 먼저 처리한 다음 허수부분의 부호를 바꾸는 순서로 연산을 해야 하는데요. 다음의 기본성질을 알고 있으면 보다 간단히 계산할 수 있어요.

위에서 ‘복부호동순’이란 복합된 부호는 같은 순서를 따른다는 뜻입니다. 즉, 위의 ②에서 좌변이 (+)일 때는 우변도 (+)이고 좌변이 (-)일 때는 우변도 (-)라는 뜻이에요.

위의 성질들은 기억하기도 쉬운데 이상하게도 교과서에는 등장하지 않습니다. 그러나 다양한 복소수 계산을 위해 필수로 알아야 하는 내용이며 이게 왜 성립하는지도 알고 가야겠죠. ①번은 켤레복소수의 켤레복소수는 자기 자신이 된다는 내용이니까 그냥 넘어갈게요.

또한, 조금만 생각해보면 다음의 성질도 금방 유도할 수 있어요. 이건 스스로 꼭 생각해보시기 바랍니다.

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● 성질의 증명

 각 성질의 증명을 위해 편의상 $z_1=a+bi$, $z_2=c+di$ ($a$, $b$, $c$, $d$는 실수)로 놓고 ②번부터 증명을 시작하겠습니다. 

덧셈, 뺄셈에 대한 증명은 이렇게 간단히 끝나고요. 이어서 ③번 성질의 증명입니다. 아래의 계산에서 $i^2=-1$으로 풀지 않고 놔둔 이유를 잘 생각해 보세요.

초록색 글로 이미 힌트가 나와있죠. 즉, $(a+bi)(c+di)$로 된 식을 전개한 다음 다시 인수분해하기 쉽도록 하기 위해 $i^2$을 그냥 놔둔 거예요. 그리고 켤레복소수를 구할 때는 허수 부분만 부호를 바꾸면 되므로 $(ad+bc)$만 부호를 바꾸고 다시 인수분해를 함으로써 원하는 결과를 만들어낼 수 있었습니다.

③번 성질에서 두 복소수 중 하나를 실수 $r$로 놓으면 $\overline{r{z}_2}=r\overline{z_2}$와 같은 파생된 성질을 만들 수도 있어요. 마지막으로 ④번 성질의 증명입니다. 나눗셈에서는 자연스럽게 분모, 분자에 켤레복소수를 곱하는 과정이 포함되며, 앞에서 증명한 ③번의 결과가 활용됩니다.

 ②, ③, ④번은 사칙연산에서 성립하는 기본성질로서 계산식 자체에다가 켤레복소수를 뜻하는 상단 바($\stackrel{―}{}$)를 씌우면 그 바를 계산을 구성하는 각각의 수에다가 따로따로 씌우는 것이 가능하다는 의미입니다. 이 원리를 활용하면 켤레복소수로 구성된 계산을 보다 쉽게 할 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같이 복잡한 수식에 작대기가 통으로 씌어져 있어도 그 작대기를 하나하나 떼어내어 계산하는 게 가능해집니다.

 

● 응용문제 풀이

 

문제에서 $z^2$와 ${\bar{z}}^2$를 하나하나 풀어 계산하면 다음과 같이 풀이가 전개됩니다.

그런데 이 문제에서 위에서 공부한 켤레복소수의 성질을 이용하면 그 풀이는 훨씬 쉬워집니다.

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이상으로부터 답은 ④번입니다.

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