함수와 역함수는 두 집합을 연결하는 양방향 다리라고 볼 수 있습니다. (그림: 인천 대교)
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
지난 포스팅에서 역함수의 정의를 알아보았습니다. 역함수는 함수의 정의역과 공역이 서로 역할만 바꾼 개념이라 기존의 함수와는 다르지만 서로 밀접한 관련성을 가지고 있어요. 이번 포스팅에서는 역함수의 기본 성질을 정리해보도록 하겠습니다.
●역함수끼리의 합성
이전에 임의의 대상 $X$와 연산 $*$에 대하여 $X*I=I*X=X$을 만족하는 $I$를 연산 $*$에 대한 항등원이라 부른다고 설명한 적이 있습니다. 이런 용어는 교육과정에 들어있지는 않지만 대상에 변화를 주지 않고 항상 같도록 유지한다는 점에서 연산 구조를 탐구하는 대수학 분야에서는 주요 관심의 대상입니다. 함수에서의 연산에는 합성이 있었고, 항등함수가 합성에서의 항등원 역할을 한다는 설명도 한 적이 있었죠.
이러한 항등원 $I$와 임의의 대상 $X$ 대하여 $X*A=A*X=I$를 만족하는 대상 $A$를 연산 $*$에 대한 $X$의 '역원'이라고 부릅니다. 즉, 연산을 해서 항등원이 나오도록 만드는 대상을 의미해요. 예를 들어 덧셈에서는 ${\color{Red}0}$이 항등원이고 $2+(-2)={\color{Red}0}$이므로 덧셈에 대한 $2$의 역원은 $-2$가 됩니다. 마찬가지로 $-2$의 역원은 $2$입니다. 곱셈에서는 ${\color{Red}1}$이 항등원이고 $2\times \frac{1}{2}={\color{Red}1}$이므로 곱셈에 대한 $2$의 역원은 $\frac{1}{2}$가 됩니다. 마찬가지로 $\frac{1}{2}$의 역원은 $2$입니다. $\frac{1}{2}$을 $2$의 역수라고 부르는 것도 이와 같은 원리에서라고 이해할 수 있어요.
물론 '역원' 또한 교육과정에는 없는 용어입니다. 그럼 이 설명을 왜 했느냐? 합성함수에서는 역함수가 바로 역원의 역할을 하기 때문에요.
다시 말해, $f^{-1}\circ f$에 $x$를 넣으면 $x$가 그대로 함숫값이 되고, $f\circ f^{-1}$에 $y$를 넣으면 $y$가 그대로 함숫값이 되므로 $f^{-1}\circ f$와 $f\circ f^{-1}$ 모두 항등함수가 됨을 알 수 있어요.
단, 여기서 $x\in X$이고 $y\in Y$이므로 $f^{-1}\circ f$는 $X$에서 $X$로의 항등함수이고 $f\circ f^{-1}$는 $Y$에서 $Y$로의 항등함수입니다. 즉, 둘 다 항등함수지만 $X\neq Y$라면 이들 역시 똑같은 함수가 될 수는 없다는 거죠. 즉, 역함수끼리의 합성 조차도 교환법칙이 성립하지는 않는다는 사실 또한 체크할 수 있어요.
함수 $f:X~$→$~Y$가 그림과 같을 때 $f^{-1}(6)+(f\circ f^{-1})(2)+(f^{-1}\circ f)(4)$의 값을 구하시오.
앞에서 정리한 내용은 두 함수 $f$, $g$가 서로 역함수이면 $f\circ g$와 $g\circ f$가 각각 항등함수가 된다는 내용이었어요. 그리고 이것은 역으로 일대일대응인 두 함수 $f$, $g$에 대하여 $f\circ g$와 $g\circ f$가 각각 항등함수이면 $f$, $g$가 서로 역함수 관계임을 의미하기도 합니다. 더 나아가서 $f$의 치역이 $g$의 정의역과 일치한다는 조건을 깔아주면 $g\circ f$ 가 항등함수라는 조건 하나만 있어도 서로 역함수인 관계가 가능합니다.
두 함수가 역함수 관계가 성립하기 위한 조건에 대한 자세한 얘기는 별도로 포스팅 하도록 하겠습니다.
함수 $f$에 대하여 $f^2(x)=f(f(x))$, $f^3(x)=f(f^2(x))$, $\cdots $이라 정의하자. 이때 집합 $X=\left\{1,~2,~3\right\}$에 대하여 함수 $f:X~$→$~X$가 두 조건 $f(1)=3$, $f^3=I$ ($I$는 항등함수)를 만족한다. 함수 $f$의 역함수를 $g$라 할 때, $g^{10}(2)+g^{11}(3)$의 값은? [(고2)2008.03/4점]
가 되어 증명이 완성됩니다. 아니면 다음 대응 관계를 통해 왜 $f$, $g$가 뒤바뀌어야 하는지 직관적으로 이해할 수 있어요.
그림 처럼 $g(a)=b$, $f(b)=c$로 놓으면 $(f\circ g)({\color{Red}a})=f(g(a))=f(b)={\color{Emerald}c}$이므로 $(f\circ g)^{-1}({\color{Emerald}c})={\color{Red}a}$입니다.
이때, $a$가 $c$와 대응하기 위해서는 중간에 $b$를 거쳐야 하죠.함수는 두 집합을 연결하는 일방향 다리라고 생각하면 $a$는 처음에 $g$라는 함수를 탑승해서 $b$가 되고 또 $f$라는 함수를 탑승해서 $c$가 됩니다. 그렇다면 $f\circ g$의 역함수를 통해 $c$를 $a$로 보내려 할 때도 중간의 $b$를 거쳐야 하는데 이때는 $f^{-1}$가 먼저 필요합니다. 즉, $f^{-1}(c)=b$를 통해 $b$로 도착한 다음 $g^{-1}(b)=a$를 통해 $a$로 돌아오는 거죠. 쉽게 생각해서 $X$라는 집합에서 $Z$라는 집합에 도착하려면 $g$와 $f$라는 도로를 이 순서로 이용해야 하는데 $Z$에서 $X$로 다시 돌아오려면 $f^{-1}$도로를 먼저 이용하고 $g^{-1}$를 통해 돌아오는 개념입니다.
따라서 이 원리를 이용하면 다음과 같이 세 개 이상의 함수가 합성된 경우에도 그 순서를 역으로 재배치하여 역함수를 구할 수 있습니다.
합성함수의 역함수를 다룰 때 주의해야 할 점은 일대일대응인 함수 $f(g(x))$의 역함수는 결코 $f^{-1}(g(x))$가 아니라는 점입니다. 따라서 이 문제의 답도 ③번이 아니라는 점을 유의해야 합니다.
역함수를 구하려면 본 식을 $x$에 대하여 정리해야 하므로 ${\color{Emerald}y}=f({\color{Red}2x})$로부터 ${\color{Red}2x}=g({\color{Emerald}y})$임을 이용합니다.
따라서 $x=\frac{1}{2}g(y)$이고 마지막으로 $x$, $y$를 바꾸면 $y=\frac{1}{2}g(x)$이죠. 즉, $y=f(2x)$의 역함수는 $y=\frac{1}{2}g(x)$입니다.
좀 더 복잡한 형태의 합성함수를 묻는 경우에는 각 함수를 $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ 등으로 지정하여 공식 $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$이나 $(f\circ g\circ h)^{-1}=h^{-1}\circ g^{-1}\circ f^{-1}$를 직접 이용할 수 있습니다.
이 문제의 경우 $h(x)=2x$라 하면 $f(h(x))=(f\circ h)(x)$의 역함수를 구하는 문제가 되죠. 그리고 공식에 의해 이 함수의 역함수는 $(h^{-1}\circ f^{-1})(x)=(h^{-1}\circ g)(x)$가 됩니다.
이제 $h(x)=2x$로부터 $h^{-1}(x)=\frac{1}{2}x$이므로 구하는 역함수는 $h^{-1}(g(x))=\frac{1}{2}g(x)$ 입니다.
이상으로부터 답은 ①번입니다.
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