역함수의 뜻 및 원리에 대한 자세한 이해 (고1수학 함수 - 기본 개념)

역함수의 뜻 및 원리에 대한 자세한 이해 (고1수학 함수 - 기본 개념)

일대일대응은 대응의 방향을 바꾸어도 함수가 되는 유일한 함수입니다. (자료 출처: 좋은책 신사고)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅까지 합성함수에 대한 얘기를 해보았는데요. 이번 포스팅부터는 합성함수만큼이나 중요한 역함수에 대해 알아보겠습니다.

● 역함수를 정의하기 위한 조건

역함수의 '역(逆)'은 바꾼다는 의미로 일상생활에서도 '역주행', '역지사지', '무역' 등으로 많이 쓰이는 한자예요. 그럼 무엇을 바꾼다는 걸까요? 이미 대표 이미지에서도 제시되었듯이 함수에서 대응하는 방향만 바꿔서 생각하는 게 역함수입니다.

즉, 함수 $f:X~$→$~Y$에 대하여 정의역을 $Y$로, 공역을 $X$로 하고 각 원소 $y$, $x$에 대하여 $f(x)=y$의 관계를 이루는 새로운 함수를 만드는 개념이죠.

따라서 역함수를 만들려면 일단 기준이 되는 함수 자체가 전제되어야 하는데 아무 함수나 역함수를 만들 수 있는 게 아니라 특별한 조건이 필요합니다. 그게 바로 이전 포스팅에서 꾸준히 강조했던 일대일대응이에요. 대표 이미지에서도 봤듯이 오직 일대일대응만 방향을 바꾸어도 그대로 함수 조건이 성립하며, 기타 다른 함수의 경우에는 대응의 방향을 바꾸면 정의역의 어떤 원소에 대해 둘 이상의 함숫값이 대응하거나 대응할 함숫값이 존재하지 않는 경우가 발생하게 됩니다. 즉, 함수의 $y=f(x)$의 역함수가 존재하기 위한 필요충분조건은 함수 $y=f(x)$가 일대일대응인 것입니다.

즉, 위의 그림에서 [그림3]번의 경우만 화살표의 방향을 반대로 해도 함수가 되며 이런 함수를 함수 $h$의 역함수라고 부릅니다.

 

● 역함수의 정의

일반적으로 역함수의 정의는 다음과 같이 합니다.

■ 역함수

함수 $f:X~$→$~Y$가 일대일대응일 때, 정의역을 $Y$로, 공역을 $X$로 하고 $Y$의 각 원소 $y$에 대하여 $y=f(x)$를 만족하는 $X$의 원소를 대응시켜 만든 함수를 $f$의 역함수라고 하며 기호로 $f^{-1}:Y~$→$~X$와 같이 나타낸다.

정의만 보면 말이 어렵게 보이지만 다음 예시와 같이 방향만 반대로 해서 만든 함수라고 생각하면 됩니다.

자료출처: EBS 수학의 왕도 수학 하

위의 예시로 든 함수 $f$에 대하여 $f($선미$)=$2반이고 역함수 $f^{-1}$에 대하여 $f^{-1}($2반$)=$선미입니다.

참고로 2학년 때 지수를 공부하면 알게 되겠지만 $3^{-1}$은 그 역수인 $\frac{1}{3}$로 정의합니다. 즉, 앞으로는 지수에 자연수만 들어가는게 아니라 다른 수가 들어간 경우에도 정의합니다. 이러한 맥락에서 $f$의 역함수를 $f^{-1}$로 표기한 것으로 이해하시면 되나 여기서 쓰인 $-1$은 제곱으로 쓰인게 아니라 그냥 $f^{-1}$ 자체가 하나의 기호를 의미하므로 읽을 때는 "f inverse"로 읽습니다.

 

함수 $f(x)=2x+k$에 대하여 $f^{-1}(5)=1$일 때, 상수 $k$의 값은?  [2017.06/3점]

① $1$     ② $2$     ③ $3$     ④ $4$     ⑤ $5$

$f^{-1}(5)=1$로부터 $f(1)=5$임을 바로 이용할 수 있어야 합니다.

$f(1)=2+k=5$

따라서 $k=3$이므로 답은 ③번입니다.

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집합 $X=\left\{~1,~2,~3,~4~\right\}$에 대하여 함수 $f:X~$→$~X$가 그림과 같다.

함수 $g:X~$→$~X$의 역함수가 존재하고, 

$g(2)=3$,  $g^{-1}(1)=3$,  $(g\circ f)(2)=2$

일 때, $g^{-1}(4)+(f\circ g)(2)$의 값을 구하시오.  [2017.11/4점]

함수 $g$의 역함수가 존재한다는 말로부터 $g$가 일대일대응이란 사실을 눈치채야 합니다. 그리고 각 조건으로부터 $g(2)=3$이고

$g^{-1}(1)=3$로부터 $g(3)=1$

$(g\circ f)(2)=2$로부터 $g(f(2))=$ $g(1)=2$

그렇다면 나머지 $g(4)$가 갈 곳은 $4$ 하나밖에 없으므로 $g(4)=4$이죠. 따라서 $g^{-1}(4)=4$입니다.

또한, $(f\circ g)(2)=f(g(2))=f(3)=3$입니다.

따라서 $g^{-1}(4)+(f\circ g)(2)=4+3=$ $7$입니다.

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● 역함수 구하기

앞에서 함수 $f:X~$→$~Y$의 역함수 $f^{-1}:Y~$→$~X$를 정의하면서 $f(x)=y$일 때 $f^{-1}(y)=x$임을 배웠죠. 즉, 여기서는 $y$가 정의역의 원소이고 $x$가 공역의 원소이자 함숫값이 됩니다.

그런데 우리는 보통 함수를 나타낼 때, $x$를 정의역의 원소로서 입력하는 값으로, $y$를 치역의 원소로서 출력되는 값으로 사용하죠. 일반적으로 각 알파벳의 역할을 일정하게 해 줘야 함수를 나타낼 때 헷갈리지 않게 됩니다. 따라서 역함수의 경우도 이 룰을 따라준다면 $f^{-1}(y)=x$에서 $x$와 $y$를 서로 바꿔주면 $y=f^{-1}(x)$가 되어 $x$가 입력 값, $y$가 출력되는 값이 됩니다.

이 말은 즉, 원래 함수 $f:X~$→$~Y$로부터 역함수를 구할 때는 다음 절차에 따라 $x$와 $y$를 서로 바꿔주면 된다는 거예요.

이 과정은 $x$와 $y$를 먼저 바꾼 다음 $y$에 대한 식으로 정리하도록 순서를 달리 해도 상관없습니다.

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위의 과정에 따라 함수 $f(x)=2x+1$의 역함수를 구해보면

$y=2x+1$에서 $x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$

$x$와 $y$를 서로 바꾸면 $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

따라서 $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$가 됩니다. 실제로 $f(x)$에 $x=1$을 대입해보면 $f(1)=3$이고 $f^{-1}(x)$에 $x=3$을 대입해보면 $f^{-1}(3)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$이 되어 역함수 관계를 만족한다는 걸 알 수 있죠.

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함수 $f(x)=-3x+2$에 대하여 방정식 $f(x)+f^{-1}(x)=0$의 해가 $x=a$일 때, $20a$의 값을 구하시오.

 

이렇게 임의의 형태로 방정식을 묻는다면 $f^{-1}(x)$를 직접 구할 수밖에 없습니다.

$y=-3x+2$에서 $x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$

$x$와 $y$를 서로 바꾸면 $y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$

따라서 $f^{-1}(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$입니다.

이제 $f(x)+f^{-1}(x)=0$에 구한 식을 대입하면

$-3x+2-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}=0$

양변에 $3$을 곱하면

    $-9x+6-x+2=0$,    $-10x=-8$,    $10x=8$

이 방정식의 해가 $x=a$이므로 $10a=8$이죠. 따라서 $20a=$ $16$입니다.

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