아폴로니오스의 원에 대한 확실하고도 쉬운 이해 (고1수학 도형의 방정식)

아폴로니오스의 원에 대한 확실하고도 쉬운 이해 (고1수학 도형의 방정식)

자료 출처: 미래엔 수학

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 원의 방정식의 표준형과 일반형을 알아보았습니다. 오늘은 특별한 조건을 만족하는 점의 자취를 구해보고자 합니다. 위의 그림에서 소개한 아폴로니오스의 원입니다. 그리스의 수학자 아폴로니오스는 당시 최고의 과학서인 원뿔곡선론의 저자이며 행성의 운동에 대한 연구에도 업적을 남겼습니다. 그가 발견한 원이 무엇인지 함께 알아보도록 하겠습니다.

 

● $\overline{\textrm{PA}}:\overline{\textrm{PB}}=m:n$을 만족하는 점 P의 자취는 직선 또는 원이다.

앞서 우리는 두 점 $\textrm{A}$, $\textrm{B}$에 대하여 $\overline{\textrm{PA}}=\overline{\textrm{PB}}$ 즉, $\overline{\textrm{PA}}:\overline{\textrm{PB}}=1:1$을 만족하는 점 $\textrm{P}$의 자취는 선분의 수직이등분선이 된다는 사실을 알아본 바 있습니다. 이제 $\overline{\textrm{PA}}:\overline{\textrm{PB}}$가 $1:1$이 아니라 다른 비를 만족하면 어떻게 될까요? 일반적인 상황을 위해서라면 두 점의 좌표를 $\textrm{A}(x_1,~y_1)$, $\textrm{B}(x_2,~y_2)$로 놓을 수 있으나 이렇게 하면 계산이 매우 복잡해지므로 편의상 $x$축 위에서 계산할 수 있게 $\textrm{A}(0,~0)$, $\textrm{B}(a,~0)$로 놓고 $\overline{\textrm{PA}}:\overline{\textrm{PB}}=m:n$을 만족하는 점 $\textrm{P}$의 자취를 구해보도록 하겠습니다.

점 $\textrm{P}$의 좌표를 $\textrm{P}(x,~y)$로 놓고 두 점 사이의 거리 공식에 루트 기호가 들어가므로 일괄적으로 제곱을 시킨 식 $\overline{\textrm{PA}}^2:\overline{\textrm{PB}}^2=m^2:n^2$에서부터 식을 세워 보면

위의 식에서 우변을 좌변으로 모두 이항하면 $x^2$과 $y^2$의 계수가 공통으로 $n^2-m^2$이 나옴을 알 수 있습니다. 이때, 만약 $m=n$이면 $x^2$과 $y^2$이 등식에서 사라지면서 $x$와 $y$의 일차항과 상수만 남게 되어 직선의 방정식이 돼버리죠. 이 직선이 바로 다음 그림과 같이 $\overline{\textrm{PA}}:\overline{\textrm{PB}}=1:1$을 만족하는 선분 $\textrm{AB}$의 수직이등분선이 됩니다.

이제 $m\neq n$이 되면 $x^2$과 $y^2$ 이 공통 계수와 함께 남아서 위의 식은 원의 방정식의 일반형이 된다는 걸 알 수 있습니다. 이제 이 식을 정리해보면

이 되어 분명한 원의 방정식을 이룹니다.

이상으로부터 $\overline{\textrm{PA}}:\overline{\textrm{PB}}=m:n$을 만족하는 점 $\textrm{P}$의 자취는 직선 또는 원을 그리게 됨을 알 수 있습니다.

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● 점 P의 자취가 원이면 직선 AB는 원의 넓이를 이등분하며 선분 AB의 내분점과 외분점은 원의 지름의  양끝점이 된다.

위에서 구한 원의 방정식에는 $y$에 대한 일차항이 없음을 알 수 있습니다. 즉, $y$에 대한 일차항의 계수가 0입니다. 이 말은 무엇이냐? 저 원의 중심의 $y$좌표가 0이란 뜻이고 즉, 원의 중심의 좌표는 $x$축 위에 있다는 얘기지요.

원의 중심의 좌표가 $x$축 위에 있게 되면 결국 $x$축 즉, 직선 AB는 원의 넓이를 이등분하는 직선이 되고 원에 의해 잘린 현은 다음과 같이 원의 지름이 됩니다.

위의 그림에서 파란색으로 칠한 선분이 원의 지름이 되는 이유는 대칭성으로부터 유도할 수도 있습니다. 위의 그림과 같이 점 P가 두 점 A, B까지의 거리의 비가 $m:n$이라면 점 P를 직선 AB에 대하여 대칭이동시킨 점 P' 또한 두 점 A, B까지의 거리의 비가 $m:n$으로 똑같겠죠. 이것은 점 P가 어디에 있어도 똑같이 성립하는 원리이므로 결국 위의 원 자체가 직선 AB에 대하여 대칭인 원이 되며 파란색 선분에 대하여도 대칭인 원이 되는거죠. 따라서 파란색 선분은 원의 지름이 될 수밖에 없는 겁니다.

이때, 위의 그림에서 지름의 양 끝점은 선분 AB위와 선분 AB의 연장선 위에 각각 위치하게 되죠. 이 점들 또한 $\overline{\textrm{PA}}:\overline{\textrm{PB}}=m:n$을 만족하는 원 위의 점입니다. 따라서 이 점들이 바로 선분 AB를 $m:n$으로 내분하는 점과 외분하는 점이 됩니다.

지금까지 알아본 위의 내용에서 좌표평면과 두 점 A, B의 좌표를 제거하고 도형의 본질만 남기면 다음과 같이 일반화할 수 있습니다. 이 원을 바로 아폴로니오스의 원이라고 합니다.

 

● 연습문제 풀이

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