해가 수평선 아래로 절반이상 내려갔는지 아닌지 확인하는 방법은 현의 수직이등분선을 그었을때 해의 테두리와 만나는 점과 수평선이 해와 만나는 두 점을 연결한 삼각형이 직각이등변삼각형이 되는지 확인하는 것입니다. (그림 출처: pixabay)
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
오늘부터는 원에 직선을 첨가한 내용인 원과 직선의 위치 관계에 대해 알아봅니다. 이미 교과서의 앞 단원에서 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 다룬 적이 있습니다. 마찬가지로 원도 직선과의 위치 관계는 매우 중요하게 다루어집니다. 대부분의 원의 방정식 기출문제도 원 하나만 가지고 내는 것보단 직선을 같이 끼어서 내는 문제가 훨씬 많죠. 따라서 여기부터는 좀 더 마음을 다 잡고 공부하시기 바랍니다.
● 직선과 원의 중심 사이의 거리를 이용한 위치 관계
일반적으로 원과 직선의 위치 관계는 다음 3가지로 나뉩니다. 이차함수 때와 마찬가지로 위치 관계를 나누는 기준은 원과 직선이 만나서 생기는 교점의 개수로 결정하며 교점은 최소 0개부터 최대 2개까지 존재합니다. 그리고 이 관계는 직선과 원의 중심까지의 거리 $d$와 원의 반지름의 길이 $r$을 서로 비교하여 구분할 수 있습니다.
특히, 위에서 $d=r$인 경우 접하는 직선을 접선, 만난 한 점을 접점이라고 합니다. 그리고 직선과 원의 중심까지의 거리는 다음과 같이 앞에서 공부한 점 $\textrm{P}(x_1, y_1)$과 직선 $ax+by+c=0$사이의 거리 공식을 이용하면 됩니다.
● 판별식을 이용한 위치 관계
이차함수와 직선의 위치 관계에서는 이차방정식의 판별식을 이용하여 이들의 위치 관계를 나눈 바 있습니다. 마찬가지로 원은 $x$, $y$에 대한 이차방정식으로 표현되므로 직선 $y=mx+n$과의 위치 관계는 이들을 연립해서 한 문자에 대한 이차방정식으로 만든 다음 이 방정식의 근의 종류를 가지고 판단할 수도 있습니다.
예를 들어 원 $x^2+y^2=r^2$과 직선 $y=mx+n$과의 위치 관계를 알아보기 위해 두 방정식을 연립합니다. 우리는 $x$에 대한 방정식이 익숙하므로 대입법을 이용하여 $y$를 소거하면
와 같이 이차방정식이 만들어집니다. 그렇다면 이 방정식의 실근이 바로 원과 직선의 교점의 $x$좌표가 되는 것이죠. 결국, 이 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 원과 직선의 교점의 개수를 결정하므로 다음과 같이 판별식을 통해 위치 관계를 구할 수도 있습니다.
원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 경우, 가장 흔히 물어볼 수 있는 문제는 두 교점 사이의 거리를 구하는 것입니다. 아래의 문제는 독특한 3점짜리 기출문제라 풀이1과 풀이2의 계산이 다소 복잡하게 나타나지만, 이 방법이 보편적으로 쓰이므로 그 원리를 잘 이해하고 가시기 바랍니다.
함수 $y=m \left|x \right|$의 그래프는 원점을 지나고 다음과 같이 의 값이 양수이면 ∨ 모양, 음수이면 ∧ 모양으로 그려집니다. 따라서 이 음수이면 주어진 원과 아예 만날 일이 없으므로 이 양수인 경우에만 조사하면 됩니다.
위의 gif의 움직임을 관찰해보면 그래프가 제2사분면에서 만날 때는 이미 제1사분면에서 서로 다른 두 점에서 만나는 상태이므로 교점이 3개부터 4개까지 나옴을 알 수 있죠. 따라서 서로 다른 두 점에서만 만나도록 하려면 제2사분면에서는 만나지 않아야 하고 제1사분면에서만 교점이 두 개가 생기도록 해야 합니다. 이해를 돕기 위해 그래프 프로그램을 이용했지만, 위와 같은 움직임은 여러분이 스스로 생각할 수 있어야 합니다.
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