원 위의 점까지의 거리의 최대, 최소 구하기 (고1수학 도형의 방정식)

원 위의 점까지의 거리의 최대, 최소 구하기 (고1수학 도형의 방정식)

원형 관람차에 탑승했을때 화살표로 표시한 건물 옥상까지 가장 가까이 가려면 어느 위치에 있어야 할까요? (그림 출처: pixabay)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지금까지 원의 방정식부터 접선에 대한 내용까지 알아봤는데요. 오늘은 원의 방정식의 마지막 포스팅으로 각종 최대, 최소를 구하는 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 최대, 최소를 구하는 건 다양한 상황에서 많이 물어보는 유형이므로 여기서 원리를 잘 이해하고 가시기 바랍니다.

 

● 원 밖의 한 점과 원 위의 점 사이의 최대, 최소

다음 그림과 같이 중심이 점 $\textrm{O}$이고 반지름의 길이가 $r$인 원 $C$ 위를 움직이는 점 $\textrm{P}$가 있고, 원의 외부에 점 $\textrm{A}$가 있다고 할 때, 두 점 $\textrm{A}$, $\textrm{P}$ 사이의 거리의 최댓값과 최솟값은 각각 어떻게 구할까요?

점 $\textrm{P}$가 어디에 위치해야 최솟값이 되고 어디에 위치해야 최댓값이 되는지 짐작은 되시겠지만, 결과를 외우는 것을 넘어서 논리적 확인을 위해 다음과 같이 점 $\textrm{A}$를 중점으로 하고 원 $C$와 접하는 보조원 두 개를 그려 볼 수 있습니다.

두 점 $\textrm{A}$와 $\textrm{O}$를 연결한 파란색 직선이 원 $C$와 만나는 점을 각각 $\textrm{P}$₁, $\textrm{P}$₂로 놓습니다. 먼저 오른쪽 그림의 보라색 원부터 관찰해보면 점 $\textrm{P}$가 $\textrm{P}$₁의 위치에 있을 때, 점 $\textrm{A}$와의 거리는 보라색 원의 반지름의 길이와 같아지고, 그 외의 점에서는 모두 원 밖으로 벗어나서 거리가 멀어집니다. 따라서 $\overline{\textrm{AP}}$의 최솟값은 다음과 같이 원 $C$의 중심까지의 거리에서 반지름의 길이를 뺀 값으로 계산됩니다.

마찬가지로 초록색 원을 관찰해보면 이번에는 점 $\textrm{P}$가 $\textrm{P}$₂의 위치에 있을 때, 점 $\textrm{A}$와의 거리는 초록색 원의 반지름의 길이와 같아지고, 그 외의 점에서는 모두 원 안으로 들어오면서 거리가 가까워집니다. 따라서 $\overline{\textrm{AP}}$의 최댓값은 다음과 같이 원 $C$의 중심까지의 거리에서 반지름의 길이를 더한 값으로 계산됩니다.

이상으로부터 점 $\textrm{A}$에서 원 $C$위의 동점 $\textrm{P}$까지의 거리의 범위는 다음과 같습니다.

 

● 두 원 위의 두 점 사이의 최대, 최소

같은 원리로 두 원 $C_1$, $C_2$와 각 원의 위를 움직이는 점 $\textrm{P}$, $\textrm{Q}$에 대하여 선분 $\textrm{PQ}$의 길이의 범위는 다음과 같습니다.

 

● 원 밖의 한 직선과 원 위의 점 사이의 최대, 최소

위에서는 원 위의 동점으로부터 한 정점까지의 거리의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법을 알아봤는데, 실제로는 원 위의 동점으로부터 한 직선까지의 거리를 묻는 경우가 많습니다.

반지름의 길이가 $r$인 원 위의 한 점 $\textrm{P}$로부터 직선 $l$까지의 거리 $d_p$의 범위는 어떻게 될까요? 여기에서 필요한 개념이 접선인데 직선 $l$과 평행하면서 원과 접하는 직선은 다음과 같이 2개 존재합니다.

이때 점 $\textrm{P}$는 위의 그림에서 초록색 접선이 원과 만나는 접점에 위치할 때 직선 $l$과의 거리가 가장 가까워짐을 알 수 있습니다. 이 접점의 위치에서 조금만 벗어나면 원과 접선 사이의 벌어진 공간만큼 거리가 증가하기 때문이죠. 그리고 이때의 거리 $d_p$는 직선 $l$과 초록색 접선 사이의 거리와 같아지는데, 접선과 원의 중심 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 $r$과 같으므로 원의 중심과 직선 $l$사이의 거리를 $d$라 하면 $d_p$의 최솟값은 $d-r$이 됩니다.

반대로 점 $\textrm{P}$는 그림에서 파란색 접선이 원과 만나는 접점에 위치할 때 직선 $l$과의 거리가 가장 멀어집니다. 마찬가지로 이 접점의 위치에서 조금만 벗어나면 원과 접선 사이의 벌어진 공간만큼 거리가 감소하기 때문이죠. 그리고 이때의 거리 $d_p$는 직선 $l$과 파란색 접선 사이의 거리와 같아지므로 $d_p$의 최댓값은 $d+r$이 됩니다.

이상으로부터 반지름의 길이가 $r$이고 중심과 직선 $l$사이의 거리가 $d$인 원 위의 한 점 $\textrm{P}$에 대하여, 점 $\textrm{P}$와 직선  $l$사이의 거리 $d_p$의 범위는 다음과 같습니다.

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