접점이 주어진 원의 접선의 방정식에 대한 자세한 이해 (고1수학 도형의 방정식)

접점이 주어진 원의 접선의 방정식에 대한 자세한 이해 (고1수학 도형의 방정식)

지면은 바퀴의 접선과 같은 역할을 하므로 바퀴의 중심에서 지면까지 연결한 선분은 지면과 수직을 이룹니다. (그림 출처: pixabay)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 기울기가 주어졌을 때 원의 접선을 구하는 방법을 알아봤습니다. 이어서 오늘은 원 위에 접점이 주어졌을 때 이 점을 지나는 접선의 방정식을 구하는 원리에 대해 자세히 공부해 보도록 하겠습니다.

 

● 접점 (x₁, y₁)이 주어진 원의 접선의 방정식 (기본)

원  $x^2+y^2=r^2~(r>0)$ 위의 점 $\textrm{P}(x_1,~y_1)$을 지나는 접선의 방정식은 기울기가 주어졌을 때 유도했던 것과 같은 방법으로 직선의 방정식을 $y-y_1=m(x-x_1)$으로 놓고 이 직선과 원점 사이의 거리가 반지름의 길이 $r$과 같아짐을 이용하여 $m$의 값을 구할 수도 있지만, 대부분의 교과서에서는 다음과 같이 접점과 중심을 연결한 반지름이 접선과 수직임을 이용합니다.

이때, 점 $\textrm{P}(x_1,~y_1)$는 원 위의 점이므로 원의 방정식을 만족하니까 ${x_1}^2+{y_1}^2=r^2$이죠. 따라서 이 결과를 위에서 구한 식 $x_1x+y_1y={x_1}^2+{y_1}^2$의 우변에 대입하면 다음과 같은 공식을 얻게 됩니다.

$x_1x+y_1y=r^2$

이상으로부터 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

공식을 유도하고 나니 꽤 의미 있는 모양을 이루고 있음을 알 수 있습니다. 이 공식은 아래에서 보여주는 절차와 같이 주어진 원의 방정식 $x^2+y^2=r^2$에다가 좌변의 제곱을 푼 다음 $x$와 $y$에다가 하나씩 점의 좌표를 대입한 모양이 되죠. 사실, 이 결과는 원의 방정식에만 성립하는 게 아니라 이차함수의 그래프나 기하에서 배우게 될 타원, 쌍곡선까지 포함하여 모든 이차곡선에서 적용할 수 있습니다.

 

● 접점 (x₁, y₁)이 주어진 원의 접선의 방정식 (확장)

또한, 교과서에는 등장하지 않지만 더 일반적으로 확장하여 중심이 $(a,~b)$인 원 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 위의 점 $(x_1,~y_1)$을 지나는 접선의 방정식은 다음과 같습니다.

$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$

위의 식 역시 기존의 원의 방정식에서 제곱을 푼 다음 $x$와 $y$에다가 하나씩 점의 좌표를 대입한 모양임을 알 수 있죠. 이렇게 규칙적인 관계를 보여주는 원리는 이 직선이 점 $(x_1,~y_1)$을 지나고 원의 중심까지의 거리가 반지름의 길이와 같아진다는 사실을 통해 확인할 수 있습니다. 그럼 이제 접선의 방정식이 왜 이렇게 나타나는지 소울을 담은 분석을 해보겠습니다.

첫째! 직선의 방정식에 $x=x_1$, $y=y_1$을 대입하면 다음과 같이 원의 방정식을 만족시키므로 이 직선은 원 위의 점 $(x_1,~y_1)$을 지나는 직선이 됩니다.

$(x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2$

둘째! 이 직선의 방정식에서 우변을 이항하여 $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)-r^2=0$으로 고치면 $x$의 계수가 $x_1-a$이고 $y$의 계수가 $y_1-b$이므로 이 직선과 원의 중심까지의 거리는

따라서 이 두 가지 확인작업에 의해 이 직선은 원의 접선의 조건을 모두 만족하게 됩니다.

예를 들어, 원  $x^2+y^2=10$ 위의 점 $(3,~1)$을 지나는 접선의 방정식은

$3x+y=10$,     $y=-3x+10$

입니다. 또한, 원 $(x-2)^2+(y+1)^2=10$ 위의 점 $(3,~2)$를 지나는 접선의 방정식은

$(3-2)\times(x-2)+(2+1)\times(y+1)=10$

$x+3y+1=10$,     $y=-\frac{1}{3}x+3$

입니다. 각 경우에 대한 그래프는 다음과 같습니다.

 

● 연습문제 풀이

 

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