기울기가 주어진 원의 접선의 방정식에 대한 자세한 이해 (고1수학 도형의 방정식)

기울기가 주어진 원의 접선의 방정식에 대한 자세한 이해 (고1수학 도형의 방정식)

지면의 기울기는 지면과 만나는 바퀴의 반지름의 기울기를 통해 알아낼 수도 있습니다. (그림 출처: pixabay)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 원과 직선의 위치관계가 3가지로 나뉜다는 것을 알아봤는데 이 중에서도 특히 중요한 관계는 한 점에서 만나는 접하는 관계입니다. 접선은 이차방정식이나 그 이상의 복잡한 방정식으로 표현된 도형의 성질을 표현해주는 일차원의 도형이므로 매우 중요한 개념이며 나중에 배울 미분의 핵심 소재가 됩니다. 오늘부터는 다양한 상황에서 원의 접선을 구하는 방법을 알아볼 것이며, 여기서는 기울기가 주어졌을 때 접선을 구하는 방법을 공부해 보도록 하겠습니다.

 

● 기울기 m이 주어진 원의 접선의 방정식 (기본)

원  $x^2+y^2=r^2~(r>0)$에 접하고 기울기가 $m$인 직선의 방정식을 구해보겠습니다. 그림과 같이 구하는 접선의 방정식을 $y=mx+n$으로 놓고 원의 중심과 이 직선 사이의 거리가 반지름의 길이와 같다는 점을 이용하여 상수 $n$의 값만 구하면 완성됩니다.

이제 직선의 방정식을 $mx-y+n=0$으로 놓고 원의 중심 $(0,~0)$과의 거리 $d$를 구하면

구한 $n$을 방정식에 대입하면 다음과 같이 공식이 완성됩니다.

기울기가 $m$으로 주어진 상태이므로 식 $mx$는 설명할 필요 없을 테고 결국 $y$절편이 되는 상수 값 $n=\pm r\sqrt{m^2+1}$을 기억하는 게 중요합니다. 부호 $\pm$가 나온다는 건 절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수가 나온다는 뜻이고요. 아래의 그림과 같이 기울기가 주어진 접선은 두 개 존재합니다.

위에서 거리 공식을 이용하여 $n$의 값을 유도하는 절차는 보여주었지만, 이 공식을 소울을 담아 마음으로 느끼는 것은 쉽지 않죠. 반지름 $r$에다 곱해진 $\sqrt{m^2+1}$이 어떤 의미가 있는지 다음 과정도 함께 보도록 하겠습니다.

위의 그림과 같이 직선 $y=mx+n$이 $x$축, $y$축과 만나는 두 점을 각각 $\textrm{A}$, $\textrm{B}$라 하고 원점 $\textrm{O}$에서 직선 $y=mx+n$에 내린 수선의 발을 $\textrm{H}$로 놓습니다. 그러면 $\angle \textrm{BAO}=\angle \textrm{BOH}$가 성립하여 삼각형 BAO와 삼각형 BOH가 서로 닮은 도형이 됩니다.
또한 $m$은 접선의 기울기이므로 다음 식이 성립하죠.

따라서 $\overline{\textrm{AO}}:\overline{\textrm{BO}}=1:m$이고 피타고라스 정리에 의해 삼각형 AOB의 세 변의 길이의 비는 다음과 같습니다. 즉, 접선의 공식에서 등장한 식 $\sqrt{m^2+1}$은 기울기가 $m$인 직선의 일부를 빗변으로 하고 가로의 길이가 1인 직각삼각형의 빗변의 길이임을 알 수 있습니다.

또한, 삼각형 BAO와 삼각형 BOH의 닮음에 의해 위의 비율은 다음의 식까지 연결됩니다.

이제 $\overline{\textrm{HO}}=r$이므로 $\overline{\textrm{BO}}=r\sqrt{m^2+1}$이고 여기에다 $\pm$부호를 붙인 값이 바로 접선의 $y$절편이 됩니다. 결국 접선의 방정식 공식에서 상수는 반지름의 길이에 접선이 만드는 직각삼각형에서 밑변과 빗변과의 비율 $\sqrt{m^2+1}$이 곱해진 값임을 이해할 수 있겠죠.

 

● 기울기 m이 주어진 원의 접선의 방정식 (확장)

이제 교과서에서는 다루지 않는 심화 내용으로 가보겠습니다. 중심이 원점뿐만 아니라 일반적인 점 $\textrm{C}(a,~b)$로 주어졌을 때는 어떻게 구할까요? 위에서와 마찬가지로 직각삼각형의 닮음을 그대로 이용하면 되는데 이번에는 다음 그림과 같이 $x$축이 직선 $y=b$, $y$축이 직선 $x=a$로 바뀝니다.

이제 선분 BC의 길이는 마찬가지로 $r \sqrt{m^2+1}$이므로 구하는 접선은 점 $(a,~b \pm r \sqrt{m^2+1})$을 지납니다. 따라서 이 점을 구하는 접선의 방정식 $y=mx+n$에 대입하면

구한 $n$을 방정식 $y=mx+n$에 대입하면

따라서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

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