평행이동의 개념 및 점의 평행이동 (고1수학 도형의 방정식)

평행이동의 개념 및 점의 평행이동 (고1수학 도형의 방정식)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지금까지 도형의 방정식 부분을 포스팅하면서 점, 직선, 원에 대해 알아보았습니다. 이제부터는 지금까지 배운 도형을 움직여보면 좌표나 방정식에서 어떠한 변화가 일어나는지를 알아봅니다. 도형을 이동하는 방법은 여러 가지가 있지만 가장 기본적인 이동이 평행이동이죠. 고등학교 교육과정에는 평행이동과 대칭이동 이 두 가지만을 다루며, 여기서는 평행이동의 기본 개념과 점의 평행이동에 대해 알아보겠습니다.

 

● 평행이동의 개념

평행이동이란 도형의 모양, 방향, 크기의 변형 없이 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 이동하는 것입니다. 즉, 도형을 있는 그대로 위치만 바꾸는 이동이죠. 우리가 컴퓨터에서 마우스로 뭔가를 잡고 끌어서 이동하는 방식이 바로 평행이동입니다.

이때, 좌표평면에서 도형을 원하는 위치로 평행이동할 때 필요한 것은 $x$축 변화량과 $y$축 변화량입니다. $x$좌표와 $y$좌표만으로 좌표평면 위의 모든 위치를 표현할 수 있듯이 임의의 위치로 이동할 때도 그에 맞는 $x$축 변화량과 $y$축 변화량만 주어지면 되는 거죠. 우리가 컴퓨터로 슈팅 게임을 할 때 내 캐릭터를 움직이기 위해 방향키를 사용하죠. 방향키는 좌우 앞뒤로 4개밖에 없지만, 이것으로 다음과 같이 원하는 모든 위치를 이동할 수 있는 것과 같은 이치입니다.

 

 

● 점의 평행이동

이제 도형을 이루는 가장 작은 단위인 점을 평행이동하면 그 좌표는 어떻게 되는지 정리해보겠습니다. 이미 앞에서 점의 평행이동에 대해 몇 차례 언급한 바 있고 좌표의 뜻만 제대로 알고 있으면 누구라도 이해할 수 있는 내용이니 바로 결과를 보겠습니다.

예를 들어 점 $(2,~1)$을 $x$축의 방향으로 $3$만큼, $y$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 점은 오른쪽으로 3만큼 이동해서 $x$좌표는 $2+3$이 되고 아래로 2만큼 이동해서 $y$좌표는 $1-2$가 됩니다. 따라서 평행이동한 점의 좌표는 $(5,-1)$이 됩니다.

이론만 생각하면 매우 쉬운 개념이지만 중요한 것은 필요한 상황에서 적절히 써먹을 수 있는 아이디어를 떠올리는 것이죠. 다음 예제도 함께 보겠습니다.

주어진 식을 대수적으로 풀려면 매우 복잡한 계산을 해야 하지만, 식을 잘 살펴보면 루트 안의 식을 다음과 같이 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있습니다. 

그리고 피타고라스의 정리 즉, 두 점 사이의 거리 공식에 의해 각 식은 다음 그림과 같이 원점으로부터 세 점 $\textrm{A}(a,~3)$, $\textrm{B}(b,~4)$, $\textrm{C}(c,~5)$까지의 거리를 의미합니다.

이제 여기서 $a+b+c=5$라는 조건만을 이용하여 세 선분의 길이의 합을 구해야 하는데 여기서 필요한 개념이 바로 평행이동이죠. 선분을 평행이동하려면 선분을 이루는 양 끝점만 평행이동시키면 되므로 여기서는 점의 평행이동만 이용하면 됩니다.

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