왜 뺄셈인가, 도형의 평행이동 원리의 확실한 이해 (고1수학 도형의 방정식)

왜 뺄셈인가, 도형의 평행이동 원리의 확실한 이해 (고1수학 도형의 방정식)

테셀레이션에는 도형의 평행이동의 원리가 들어있습니다. (그림 출처: pixabay)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 평행이동의 개념 및 점의 평행이동 방법에 대해서 알아보았는데요. 도형의 이동의 핵심은 점이 아니라 도형의 방정식이죠. 여기서는 도형 자체를 평행이동하면 그 도형을 나타내는 방정식에는 어떤 변화가 일어나는지 알아보도록 하겠습니다.

 

● f(x, y)=0 표현의 도입

점은 좌표를 통해 나타내지만, 도형은 여러 개의 점이 모여서 이루어진 모임이므로 좌표가 아니라 방정식으로 표현되는 것이 일반적입니다. 직선의 방정식의 일반형인 $ax+by+c=0$이나 원의 방정식의 일반형인 $x^2+y^2+Ax+By+C=0$이 그 예죠. 또한, 이차함수의 그래프와 같은 도형을 포물선이라고 부르는데 포물선의 방정식 $y=a{x}^2+bx+c$ 또한 $a{x}^2+bx-y+c=0$으로 나타낼 수 있습니다.

이와 같이 $x$와 $y$로 이루어진 식을 $f(x,y)$라고 표현할 수 있습니다. 그동안 사용했던 $f(x)$, $g(x)$, $P(x)$ 등은 $x$로 이루어진 수식을 나타냈던 것처럼 두 개 이상의 변수가 사용되는 식은 $f(x,y)$나 $f(x,y,z)$와 같이 표현할 수 있는 거죠.

예를 들어, $f(x,y)=xy+2y$이면 $f(1,3)=1\times 3+2\times 3=9$가 되고 $y$에 $x$를 대입하면 $f(x,x)=x^2+2x$가 됩니다. 

일반적으로 방정식 $f(x,y)=0$을 만족하는 두 실수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x,y)$가 하나라도 존재하면 이 방정식은 좌표평면 위의 도형을 나타냅니다. 예를 들어 $f(x,y)=(x^2+y^2-4)(x+y)$로 정의하면 방정식 $f(x,y)=0$이 나타내는 도형은 무엇일까요? 다음의 과정으로부터 $f(x,y)=0$은 좌표평면 위에서 원과 직선이 합쳐진 도형을 나타냄을 알 수 있습니다.

 

● 도형의 평행이동

이제 이 표현으로 도형의 평행이동 이론을 정리해보겠습니다. 즉, 이제 우리가 할 일은 방정식 $f(x,y)=0$이 나타내는 도형 $F$를 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 도형의 방정식이 어떻게 나타나는가입니다. 도형을 평행이동하는 원리는 그 도형을 이루고 있는 모든 점을 각각 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 일정하게 평행이동하는 것과 같습니다. 따라서 점의 평행이동과 같은 방법으로 $f(x+a,y+b)=0$이라는 결과가 나온다면 참 좋겠지만, 결론부터 제시하면 아쉽게도 정반대의 결과가 나옵니다.

점의 평행이동에서는 이동한 만큼 좌표에다가 덧셈을 했었는데, 도형의 방정식에서는 왜 뺄셈을 해야 할까요? 이를 알아보기 위해 다음 그림과 같이 방정식 $f(x,y)=0$이 나타내는 도형을 $F$로 놓고 이 도형을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 도형을 $F^{\prime }$이라 합시다. 교과서에는 기존의 도형 $F$위에 점 $\text{P}(x,y)$를 잡고 평행이동한 도형 $F^{\prime }$위에 점 P'(x', y')을 잡아서 유도합니다. 그러나 직선의 방정식을 구할 때부터 그랬듯이 여기서는 구하고자 하는 도형 $F^{\prime }$ 위에다가 직접 한 점을 잡아서 $\text{P}(x,y)$로 놓고 유도를 해보겠습니다. 이렇게 유도해야 도형의 방정식을 구하는 방법에 일관성을 지킬 수 있으며 점의 평행이동과 반대로 왜 뺄셈의 연산을 해야 하는지를 보다 명확하게 이해할 수 있습니다. 이제 이 상태에서 $x$, $y$ 사이에 성립하는 관계식을 찾아내면 그 식이 바로 구하는 도형의 방정식이 됩니다.

위에서 얘기했듯이 도형의 평행이동을 그 도형을 이루는 모든 점을 일괄 이동하는 것이므로 도형 $F^{\prime }$위의 한 점 $\text{P}(x,y)$도 기존의 도형 $F$의 어떤 점이 평행이동을 하여 만들어진 점입니다. 그렇다면 평행이동을 하기 전에 있었던 점을 ${\text{P}}^{\prime }$이라 한다면 ${\text{P}}^{\prime }$의 좌표는 얼마가 되어야 할까요? 점 $\text{P}(x,y)$를 다시 평행이동 하기 전으로 되돌려야 점 ${\text{P}}^{\prime }$이 되므로 ${\text{P}}^{\prime }$의 좌표는 $(x-a,y-b)$가 되어야 한다는 것이죠. 이때, 점 ${\text{P}}^{\prime }$는 도형 $F$위의 점이므로 이 점의 좌표 $(x-a,y-b)$를 $f(x,y)=0$에 대입하면 성립하게 됩니다. 따라서 점 $\text{P}(x,y)$의 $x$, $y$는 다음의 관계식을 만족하게 되는 거죠.

$f(x-a,y-b)=0$

이것이 바로 좌표로 나타내는 점의 평행이동과 방정식으로 나타내는 도형의 평행이동의 차이입니다. 방정식 $f(x,y)=0$은 기존의 도형 $F$를 이루는 방정식이고, 새로운 도형 $F^{\prime }$의 방정식은 평행이동하기 전인 $F$의 방정식 $f(x,y)=0$의 형식을 빌려서 나타내고 있죠. 따라서 $F^{\prime }$은 평행이동하기 전인 ${\text{P}}^{\prime }(x-a,y-b)$로 되돌렸을 때 방정식 $f(x,y)=0$을 만족시키는 모든 점 $\text{P}(x,y)$로 구성된 도형이라는 겁니다.

 

● 기존의 방정식과 평행이동의 관계

지금까지 우리가 공부했던 직선의 방정식, 원의 방정식, 이차함수의 수식에 평행이동을 적용하면 공식에서 일관성을 발견할 수 있습니다.

 직선의 경우 원점 $\text{O}$를 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $y=mx$입니다. 이 직선 위에 있는 원점이 점 $\text{P}(x_1,y_2)$로 옮겨지도록 직선 $y=mx$ 자체를 평행이동하면 $x$에다가 $x-x_1$을 대입하고 $y$에다가 $y-y_1$을 대입하여 $y-y_1=m(x-x_1)$이 되죠. 기울기가 $m$이고 점 $\text{P}(x_1,y_2)$을 지나는 직선의 방정식은 이러한 원리로 유도할 수도 있는 겁니다.

원의 경우 원점 $\text{O}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $r$인 원의 방정식은 $x^2+y^2=r^2$입니다. 이때도 마찬가지로 원의 중심 $\text{O}$가 점 $\text{P}(a,b)$로 옮겨지도록 원 자체를 평행이동하면 $x^2+y^2=r^2$에서 $x$에다가 $x-a$를 대입하고, $y$에다가 $y-b$를 대입해서 
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$가 되어 우리가 처음 배운 원의 방정식의 공식이 유도됨을 알 수 있습니다.

마지막으로 원점 $\text{O}$를 꼭짓점으로 하는 이차함수의 수식은 $y=a{x}^2$ $(a\ne 0)$의 꼴로 표현됩니다. 이때도 꼭짓점 $\text{O}$가 점 $\text{P}(p,q)$로 옮겨지도록 곡선 자체를 평행이동하면 $y=a{x}^2$에서 $x$에다가 $x-p$를 대입하고, $y$에다가 $y-q$를 대입해서 $y-q=a(x-p{)}^2$ 즉,
$y=a(x-p{)}^2+q$가 되어 중학교에서 배웠던 이차함수의 수식이 유도됩니다.

 

● 평행이동 관련 연습문제 풀이

 

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