원의 여러 가지 접선의 방정식 구하기 (고1수학 도형의 방정식)

원의 여러 가지 접선의 방정식 구하기 (고1수학 도형의 방정식)

원 운동을 이탈한 물질은 원의 접선을 그립니다. (그림 출처: pixabay)

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 지난 포스팅에서 기울기가 주어진 원의 접선의 방정식과 접점이 주어진 원의 접선의 방정식을 구하는 방법을 알아봤습니다. 이 두 가지를 기초 내용으로 하여 여기서는 다양한 상황에서 원의 여러 가지 접선의 방정식을 구하는 방법을 알아보도록 하겠습니다.

 

● 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식

도형의 외부에서 그은 접선의 방정식을 구하는 것은 절차가 좀 필요하나 어느 교과서에서도 빠지지 않은 필수 유형이니 그 방법과 원리를 잘 숙지하시기 바랍니다. 이 방법으로 한 점에서 앞 단원에서 공부했던 이차함수의 그래프에다가 그은 접선의 방정식을 구하는 것도 가능하며 이러한 문제는 나중에 미분을 공부할 때도 등장합니다. 한 가지 방법만 외우기보다는 소개되는 다양한 방법을 참고하면서 수학적 원리를 이해하는 방향으로 공부하시기 바랍니다.

 

● 접선의 기울기가 구해지지 않는 경우

원의 접선의 방정식을 구할 때는 주의해야 할 점이 있습니다. 다음은 좋은책신사고 교과서에서 원과 직선의 위치 관계 단원의 일부입니다.

위의 토론하기에 의하면 원 $x^2+y^2=1$ 밖의 점 $(1,~1)$에서 원에 그은 접선은 두 개가 존재해야 하는데 방정식을 하나밖에 못 구하고 있습니다. 접선의 방정식을 $y-1=m(x-1)$로 놓고 $m$을 구하는 과정에서 의 값을 하나밖에 못 찾았기 때문이죠. 왜 그럴까요?

다음 그림과 같이 그래프를 통해 접선을 확인해 보면 점 $(1,~1)$에서 원에 그은 두 접선은 $x=1$과 $y=1$이 되어 $x$축, $y$축에 각각 평행한 직선임을 알 수 있습니다. 이때, 직선 $y=1$의 기울기는 0이지만 직선 $x=1$의 기울기는 정의가 안 되기 때문에 그에 대한 $m$의 값을 찾을 수 없었던 겁니다.

직선 중에서 유일하게 기울기를 정의할 수 없는 경우가 $x$축과 수직인 직선이죠. $x$의 값의 변화가 없으므로 기울기를 구할 때 분모가 0이 되기 때문입니다. 따라서 위의 토론하기처럼 일반적으로 접선이 두 개가 되어야 하는데 $m$의 값이 하나밖에 안 구해질 때는, 나머지 직선은 $x$축과 수직인 직선이라고 추측할 수 있습니다. 따라서 점 $(1,~1)$을 지나고 $x$축과 수직인 직선인 $x=1$이 나머지 접선이 됩니다.

 

● 두 원에 동시에 접하는 직선의 방정식

직선이 두 개의 원에 동시에 접하도록 하려면 판별식이나 반지름과의 거리 비교를 통해 식을 연립하여 방정식을 구할 수도 있지만 방법이 다소 복잡하고 많은 계산을 요구합니다. 이럴 때는 이전에 기울기가 주어진 원의 접선의 방정식을 구할 때 소개했던 직각삼각형의 닮음을 이용하면 손쉽게 구할 수 있습니다.

두 원을 좌표평면에 나타낸다음 동시에 접하는 직선을 그려보면 다음과 같이 두 직선이 나옵니다.

 이 때, 두 직선은 서로 $x$축에 대하여 대칭이므로 두 직선의 기울기의 절댓값이 서로 같고 $y$절편의 절댓값도 서로 같습니다. 따라서 둘 중 어떤 직선을 구하더라도 $mn$의 값은 똑같은 거죠. 그러니 편의상 두 원의 위쪽에서 접하는 접선의 방정식을 구해보겠습니다.

우선 각 원의 중심에서 접선과 수직이 되는 반지름을 각각 그어주면 각 반지름의 길이는 3과 2입니다. 그리고 다음 그림과 같이 점 A, B, C, D, P를 세팅해줍니다.

 이렇게 하면 위의 그림에서 삼각형 PAC와 삼각형 PBO 그리고 삼각형 POD가 모두 닮은 삼각형임을 알 수 있습니다.

이제 삼각형 PAC와 삼각형 PBO의 닮음비는 $2:3$이고 선분 CO의 길이는 원 $x^2+y^2=9$의 반지름의 길이인 3과 같으므로 선분 PC의 길이는 6이 되겠죠. 따라서 구하는 접선의 $x$절편은 $-9$가 됨을 알 수 있습니다.

다음으로 삼각형 PAC에서 피타고라스 정리를 이용하면 변 PA의 길이는

$\overline{\textrm{PA}}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

구하는 접선의 기울기는 $\frac{1}{2\sqrt{2}}$입니다.

이렇게 하여 절편과 기울기를 모두 구했으므로 구하는 접선의 방정식은

$y=\frac{1}{2\sqrt{2}}(x+9)$

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