잎의 폭을 W, 길이를 L이라 하면 오이 잎의 넓이는 1.16L²-3.1L+11.6 또는 0.36W²+11.92W-88로 나타낼 수 있고 토마토 잎의 넓이는 0.35L²-5.31L+57.6.또는 0.708W²-10.44W+83.4로 나타낼 수 있습니다. (자료 출처: 미래엔 수학)
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
다항식의 다양한 계산은 다항식의 곱셈에서부터 시작됩니다. 고등학교 수학의 난이도는 여기서부터 조금씩 체감하게 될 텐데 다항식의 덧셈과 뺄셈에서 조금 해봤듯이, 다항식의 곱셈도 중학교 때 공부했던 다항식의 곱셈을 기본으로 합니다. 단, 여기서는 좀 더 복잡한 식의 곱셈을 알아봅니다.
●분배법칙 & 중학교 곱셈 공식
다항식의 곱셈에서 가장 기본이 되는 원리는 바로 분배법칙(distributive law)입니다. 중학교에서 다음과 같은 분배법칙을 가지고 모든 곱셈을 다 해낼 수 있었습니다.
자료출처: EBS 수학의 왕도
그리고 이 원리를 확장해서 다음의 원리까지 중학교에서 배웠죠.
자료출처: EBS 수학의 왕도
그리고 등식 $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$에서 $a$, $b$, $c$, $d$ 대신 다양한 문자를 대입하면서 다음의 공식까지 정리하였습니다. 여기까지가 이미 중학교에서 배운 내용이기 때문에 이 부분이 기억이 안 난다면 지금이라도 확실히 숙지해 두어야 합니다.
●다항식의 곱셈
고등학교의 다항식의 곱셈은 위에서 정리한 내용을 바탕으로 항의 개수나 차수를 늘리는 것으로 시작합니다. 아래에 제시한 그림으로 뭘 하려고 하는지는 아시겠죠? 위에서 보여준 분배법칙의 확장으로 직사각형을 그림과 같이 6개의 직사각형으로 나누었을 때 6개의 직사각형의 넓이의 합은 큰 직사각형의 넓이와 같습니다. 또한 직사각형의 넓이는 (가로)×(세로)로 계산되므로 다음의 등식을 얻을 수 있습니다.
이 식을 아까 얘기한 분배법칙을 이용하여 유도하면 $(a+b+c)$를 하나의 개체로 생각하여 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
이제 이 분배법칙과 위에서 알아본 곱셈 공식을 이용하여 본격적으로 다항식의 곱셈을 해보겠습니다. 곱셈 계산에 앞서 고등학교 수학에서 우리가 새롭게 기억해야 할 곱셈 공식을 먼저 정리하고 가겠습니다.
●곱셈공식 유도하기
이제 하나씩 유도를 해볼 텐데 처음 배우시는 분들은 이 과정을 스스로 유도해 보시면서 다항식의 계산이 충분히 익숙해질 수 있도록 해야 합니다. 먼저 ⑤번 공식부터 전개해 보겠습니다.
이 식을 기억하기 위해 곱셈 공식 ①번인 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$와 비교해 보겠습니다. 먼저 공통점을 보자면 둘 다 제곱식을 전개한 것이므로 전개된 우측식은 모든 항이 2차 항임을 알 수 있습니다. 한편, ⑤번 식은 ①번 식의 좌변 제곱식 안에 $c$를 추가해서 만든 식입니다. 따라서 차수가 2인 문자식은 다음과 같이 $a^2$, $b^2$, $ab$ 말고도 $c^2$, $ac$, $bc$인 경우가 더 생긴다고 보시면 됩니다.
⑤번 공식의 우변은 어느 한 문자에 대해 차순으로 정리한 것은 아니지만 왼쪽의 $a^2+b^2+c^2$은 한 종류의 문자가 제곱된 식, 오른쪽의 $2ab+2bc+2ca$는 서로 다른 두 개의 문자가 묶인 식으로 나누었습니다. 이 식은 $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ 와 같이 공통인수인 2로 묶어서 기억하는 것도 좋습니다. 이렇게 정리하면 세 개의 식
$(a+b+c)$, $a^2+b^2+c^2$, $ab+bc+ca$
사이의 관계를 알아볼 수 있으므로 세 식 중에 두 식의 값이 주어지면, 나머지 한 식의 값을 구하는 유형을 풀 수 있어요.
다음으로 ⑥번 $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$을 유도해 봅시다.
전개된 결과식은 $a$에 대해서는 내림차순, $b$에 대해서는 오름차순으로 정리된 것을 알 수 있습니다. 이 식을 기억하기 위해 곱셈 공식 ①번인 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$와 다시 비교해 보면 이 식의 우변 또한 $a$에 대해서는 내림차순, $b$에 대해서는 오름차순으로 정리된 것을 알 수 있습니다. 다만 ①번 공식은 우변의 모든 항이 2차 항이지만, ⑥번 공식은 ①번 공식에서 2 제곱 대신 3 제곱을 넣어서 계산한 것이므로 우변의 모든 항이 3차 항이 됩니다. 따라서 각 항은 $a^3$, $a^2b$, $ab^2$, $b^3$으로 구성되어 있으며, 문자가 섞여 있는 가운데 항의 계수는 3이 됩니다. 따라서 다음과 같이 기억하면 도움이 될 것입니다.
⑥번 공식에서 $3a^2b+3ab^2$을 이항하고 분배법칙으로 공통인수를 분리하면 다음과 같은 변형식을 얻을 수 있습니다.
이 변형식은 세 식 $a^3+b^3$, $a+b$, $ab$와의 관계를 보여줍니다. 즉, 두 문자 $a$와 $b$의 합과 곱만 알면 변형식을 통해 $a^3+b^3$과 같은 복잡한 식의 값을 간단히 구할 수 있음을 의미합니다.
다음으로 ⑥번 공식에서 $b$ 대신 $-b$를 대입하면 $(a-b)^3$에 대한 전개식도 완성됩니다.
전개된 식의 우변을 보면 $b$의 차수가 홀수인 항만 부호가 바뀌었음을 알 수 있습니다. 변형식에서도 마찬가지로 $b$ 대신 $-b$를 대입하면 $a^3-b^3$을 구하는 식을 만들 수 있습니다.
마지막으로 ⑦번 공식 $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$을 유도하겠습니다. 이 식은 연습 삼아 여러분이 직접 전개해 보셔도 되지만 ⑥번의 변형식에서 분배법칙으로 인수분해를 한 번만 하면 완성할 수 있습니다.
추후 인수분해를 다루겠지만 이 공식은 인수분해를 할 때 중요하게 활용됩니다. 마찬가지로 여기서 $b$ 대신 $-b$를 대입하면 두 번째 식도 만들 수 있으며 마찬가지로 $b$의 차수가 홀수인 항만 부호가 바뀝니다.
⑥번과 ⑦번 공식은 부호를 바꾼 경우까지 두 가지가 제시되어 있어 공식이 다소 많아 보이지만, 상황에 따라 부호까지 함께 대입해서 계산만 잘해줄 수 있으면 둘 중 하나만 정확하게 알고 있어도 괜찮습니다. 다만 ⑥번의 경우는 식 $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$을 많이 쓰고 ⑦번의 경우는 식 $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$이 보편적으로 많이 사용됩니다.
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