안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽고 자세히 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
고등학교를 입학하여 수학을 공부하면 가장 먼저 공부하는 내용이 다항식입니다. 다항식이라는 건 중학교 1학년 때 이미 정의를 했고 다양한 문제들을 풀 때 충분히 다뤄봐서 이미 알고 있을 거라 생각됩니다. 수학에서 가장 많이 쓰는 수식이 다항식이고 앞으로도 뒤에서 방정식과 함수 등의 개념을 공부하면서 계속 사용할 것이기 때문에 다항식의 사칙연산을 공부하는 건 수학의 세계에서는 영어를 배우기 위해 알파벳을 공부하는 것처럼 기본 중에 기본이라 볼 수 있습니다.
●다항식 관련 기본 용어 정리
아래의 내용은 중학교에서 이미 다룬 기본 용어입니다.
∎항: 수 또는 문자의 곱으로 이루어진 기본단위 예) $5$, $a$, $5a$, $xy$ ∎다항식: 하나 이상의 항이 모여서 합 또는 차로 연결된 식 예) $5a$, $5a+xy^2$, $x^2+3x+2$, $2$ ∎단항식: 하나의 항으로만 이루어진 식 예) $5a$, $2$, $xy$, $6x^4y^2z^3$ ∎계수: 항에서 특정 문자에 곱해진 수나 식 예) $5a$에서 $a$의 계수는 $5$, $6x^4y^2z^3$에서 $y^2z^3$의 계수는 $6x^4$ ∎차수: 문자가 곱해진 횟수 예) $5a$의 차수는 $1$, $6x^4y^2z^3$의 차수는 $9$
참고로 차수는 한자로 나타내면 次數로 1차원, 2차원 할 때 쓰는 ‘차’와 같은 한자를 씁니다. 차원은 도형을 다루는 기하학에서 쓰이는 개념으로 직선은 1차원, 평면은 2차원, 공간은 3차원에 해당합니다. 예를 들어 반지름의 길이가 $r$인 원의 넓이는 $\pi r^2$이고 반지름의 길이가 $r$인 구의 부피는 $\frac{4}{3}\pi r^3$이죠. 여기서 반지름은 1차원 개념이고, 넓이는 2차원 개념, 부피는 3차원 개념입니다. 그리고 $r$의 차수는 1이고, $\pi r^2$의 차수는 2, $\frac{4}{3}\pi r^3$의 차수는 3이죠. 문자의 곱해진 횟수를 차수라고 부르는 이유는 기하학의 차원과 연결되기 때문이라고 볼 수 있습니다.
다항식과 관련된 다음의 팁도 정리해 보겠습니다.
다항식 $P(x)$에 대하여 ① $P(x)$의 상수항의 값은 $P(0)$ 예) $(x^2+x+2)^6(x-1)^7$을 전개한 식에서 상수는 $2^6\times (-1)^7=-64$ ② $P(x)$의 모든 항의 계수들의 합은 $P(1)$ 예) $(x+1)^5$를 전개하였을 때, 모든 항의 계수들의 합은 $(1+1)^5=32$
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●다항식의 차순 정리
고등학교 수학에서 다루게 될 다항식의 본질은 중학교 때 배운 다항식과 다를 게 없으나 여기서부터 배우는 다항식은 사용하는 문자(알파벳)가 좀 더 다양해지거나 다루는 차수가 높아지는 쪽(3차, 4차, …)으로 난이도가 상승하게 됩니다. 그래서 앞으로 다루게 될 복잡한 다항식을 좀 더 간결하게 나타내기 위해서는 다항식을 차순으로 정리해서 나타내는 것이 가장 기본이 됩니다. 다음의 실생활 예를 보겠습니다.
17,600원 짜리 물건을 살 때, 현금 5만원을 주고 거스름돈으로 32,400원을 받았다고 가정해봅시다. 받은 거스름돈의 액수가 맞는지 확인하려면 보통 액수가 큰 지폐부터 세어야 편리하고 정확하겠죠. 세어 봤더니 만 원짜리 3장, 천 원짜리 2장, 백 원짜리 4개를 받았다면 총 액수는 다음과 같이 계산됩니다. ${\color{Red} 3}\times 10^4+{\color{Blue} 2}\times 10^3+{\color{DarkGreen} 4}\times 10^2=32,400$
마찬가지로 다항식도 차순으로 정리해야 알아보기가 쉽겠죠. 이때, 차수가 높은 항. 즉, 문자가 많이 곱해진 항부터 왼쪽부터 차례대로 나타내는 것을 내림차순으로 정리한다고 하며, 반대로 차수가 낮은 항부터 순서대로 나타내는 것을 오름차순으로 정리한다고 합니다. 참고로 항 중에서 차수가 가장 낮은 항은 상수로서 $-2$, $4\pi$와 같이 문자가 하나도 곱해져 있지 않은 상수항은 차수가 $0$이라고 볼 수 있습니다. 보통은 내림차순을 많이 사용하여 차수가 가장 높은 항이 맨 왼쪽에, 상수항이 맨 오른쪽에 오도록 나타냅니다.
다항식 $-3xy^2+4x^2y-1+2x^3$을 다음에 대하여 나타내시오. (1) $x$에 대한 내림차순 (2) $y$에 대한 오름차순
※ 위의 답에서 $4x^2y$와 같이 항 내에서 여러 문자를 쓰는 순서는 보통 알파벳 순으로 나타내나 $4yx^2$로 써도 무방합니다.
(2) 답: $-3xy^2+4x^2y+2x^3-1$
※ 위의 답에서 만을 $y$변수로 생각하면 $2x^3-1$은 상수가 됩니다. 이때에도 보통 내림차순으로 나타내나 $-1+2x^3$로 나타내도 문제에서 요구한 답과 틀리지는 않습니다.
●다항식의 덧셈과 뺄셈
사칙연산 중 가장 기본적인 연산은 덧셈과 뺄셈입니다. 중학교 때도 이미 $2a+3a=5a$, $4xy-3xy=xy$와 같은 덧셈과 뺄셈을 했죠. 여기서 핵심 개념은 동류항이었습니다. 동류항이란 문자의 종류와 그 차수까지 일치하는 항으로 $2ab$와 $3ab$는 서로 동류항이지만 $a^2b$와 $ab^2$은 동류항이라고 하지 않습니다.
동류항의 특징은 위에서 언급한 $4xy-3xy=xy$처럼 두 개 이상의 항을 하나의 항으로 간단히 나타낼 수 있다는 점이죠. 이 식을 말로 해석하면 $xy$라는 개체가 4개 있었는데 그중에 $xy$를 3개 뺐더니 $xy$가 1개가 되었다는 뜻이 되는 겁니다. 여기에는 이후 다항식의 곱셈에서 등장할 분배법칙이 이용됩니다. 즉, $4xy-3xy=(4-3)xy=xy$가 되는 개념이죠.
한편, $a^2b+ab^2$와 같이 동류항이 아닌 항끼리의 합이나 차는 더 이상 간단히 나타낼 수 없습니다. 결국 다항식의 덧셈과 뺄셈의 기본방향은 동류항을 찾아서 간단히 만드는 것입니다. 또한 다항식의 덧셈을 보다 쉽게 하기 위해 다음과 같은 성질을 언급하고 갈 필요가 있습니다.
■ 세 다항식 $A$, $B$, $C$에 대하여
① 교환법칙: $A+B=B+A$ ② 결합법칙:$(A+B)+C=A+(B+C)$
이 성질은 중학교에서도 다항식의 연산을 공부할 때 등장했었고 앞으로도 우리가 새로운 연산을 공부하면 항상 확인을 거쳐야 하는 중요한 과정입니다. 여기서는 중학교 때 다루지 않았던 더 복잡하고 많은 다항식을 계산할 때도 이 성질은 변함이 없다는 뜻을 의미합니다. 참고로 교환법칙은 계산하는 순서를 교환하여도 결과는 같다는 뜻으로, 결합법칙은 결합하는 방식을 바꾸어도 결과는 같다는 뜻으로 이해하시면 됩니다.
두 다항식 $A=x^2+3xy-2y^2$, $B=2x^2-xy+3y^2$에 대하여 $(3A+B)-(2A-B)$를 계산하시오.
우선 주어진 식을 먼저 간단히 하면 $(3A+B)-(2A-B)$ $=3A+B-2A+B=A+2B$ 이므로 이 식에다가 $A=x^2+3xy-2y^2$, $B=2x^2-xy+3y^2$을 대입하여 계산하면 됩니다. 이때, 계산은 다음과 같이 동류항끼리 위치를 맞추어 세로셈으로 계산하면 실수하지 않고 정확하게 계산할 수 있습니다.
따라서 답은 $5x^2+xy+4y^2$
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