논란의 곱셈 생략 계산 문제 8÷2(2+2), 6÷2(1+2)의 반박 불가능한 완전한 종결 (48÷2(3+9) 곱하기 순서 논쟁)
본 글은 사회적으로 합의가 되지 않은 논란의 수식에 대해 어떻게 해석하는 것이 합리적인지를 제시하는 개인적인 주장일 뿐, 절대적인 참이 될 수는 없음을 밝힙니다. 언젠가 사회가 제 주장과 다른 방향으로 합의를 한다면 거기게 따를 수밖에 없는 점을 참고하여 읽어주시기 바랍니다. 자극적인 제목과 인트로로 인해 불쾌감을 느끼신 분들께는 미리 사과의 말씀을 드립니다.
안녕하세요? holymath입니다. 오늘은 알만한 사람들은 누구나 알고 있는 10년도 넘은 계산 논쟁 문제에 대해 얘기해 보겠습니다. 바로 6÷2(1+2)의 답이 무엇인가인데요. 너무도 간단해 보이는 이 계산문제가 왼쪽부터 차례대로 계산하면 9가 되지만 2와 (1+2) 부분을 먼저 계산하면 1이 되어 답이 두 개로 나뉘어 혼란에 빠집니다. 지금도 인터넷에서 어그로를 끌기 위해 8÷2(2+2)의 답은 무엇인가를 주제로 기사가 나오고 있으며 그때마다 "답은 16이다.", "아니다, 답은 1이다."로 불티나게 논쟁이 일어나는데요.
저는 오늘 이 포스팅을 통해 논란의 문제를 종결시켜보려고 합니다. 이미 SNS에서 많이 접한 분들이 계셔서 "이제 이런 문제는 지겹다.", "이 문제는 이미 종결 난 거다."라고 말씀하실 분들도 계실 텐데요. 유명한 강사나 교수들도 이 문제에 대해 다른 해석을 하고 있는 상황이라 종결되었다고 볼 수 없으며 지금도 잊을만하면 숫자만 바뀌어서 SNS 게시물로 끊임없이 기어 나와서 어그로를 끌고 있고 그때마다 사람들의 의견은 갈라집니다.
사실 16년도 한국학교수학회에서 이 논란에 대한 입장을 논문으로 발표한 일이 있었는데 잘 알려지지 않았습니다. 저는 이 논문의 입장과 이미 보편화되어 있는 계산 원리를 바탕으로 문제 6÷2(1+2)의 답이 1 임을 말씀드리려고 합니다. 이 포스트를 읽고 나면 더 이상 누구도 반박할 수 없을 거라 확신하며, 추후 인터넷에서 이런 문제가 또 등장하면 이 포스팅을 소개해주시면 감사하겠습니다.
PS. 논란이 많은 민감한 주제이다 보니 댓글이 엄청나게 많이 달렸습니다. 그중 'ㅇㅇ'과 70개가 넘는 댓글을 주고받았는데요. 관련 내용을 본문 맨 끝에다가 따로 정리했으니 같이 참고하시면 되겠습니다.
2024년 7월 27~28일까지 '두두'라는 분과 많은 댓글을 주고받았습니다. 이분 말씀의 요지는 사회적으로 분명한 합의가 되어있지 않은 수식에 "반박 불가능한 완전한 종결"이라는 과감한 용어를 사용한 것에 대한 불쾌감을 드러낸 것이지, 문제의 수식을 해석하는 논리적 과정에 대한 반박이 아님을 참고해 주시기 바랍니다.
<목차>
● 문제 소개 ● 한국학교수학회의 해석 ● 지도서에 명시된 원리의 해석 ● 루트$(\sqrt{~~})$ 계산에서 본 원리의 해석 ● 대입의 관점에서 본 6÷2(1+2)의 계산 ● 6÷2(1+2)=9의 계산 과정에서의 문제점 ● 계산기의 한계 ● 포스팅을 마치면서
● 문제 소개
곱셈 기호가 생략된 계산 문제는 2011년 미국의 어떤 수학 시험에서 $48\div 2(3+9)$라는 문제에서 시작되어 이 답이 2이냐 288이냐를 두고 논란이 시작되었습니다. 계산기도 제품마다 다른 결과를 내면서 폭발적인 관심을 끌었죠.
※ 자료출처: 나무위키( https://namu.wiki/w/48%C3%B72(9%2B3) )계산기마다 다른 계산 결과
당시 미국의 대학교수인 스트로가츠가 왼쪽부터 차례대로 계산해야 하므로 답이 288이라고 주장했고 이것이 기사로 퍼지면서 논란이 종결되는 듯 보였습니다.
그러나 스트로가츠 교수가 주장했을 당시 많은 사람들한테서 엄청난 반박이 쏟아졌고 그 반박의 근거로 미국수학협회의 규칙을 제시했습니다. 그리고 교수는 그 규칙이 보편적이지 않다고 대응하면서 확실한 결론이 나지 않았죠.
그리고 이 논란은 오늘날까지 8÷2(2+2), 6÷2(1+2)로 재생산되어 끊임없이 등장하고 있으며, 이러한 기사들 중에는 스트로가츠 교수의 입장에 따라 왼쪽부터 차례대로 계산하는 것이 답인 것처럼 소개하는 기사들이 많습니다.
※ 기사 출처: https://www.dongascience.com/news.php?idx=30360 (2019.08.04)
※ 기사 출처: https://news.sbs.co.kr/news/endPage.do?news_id=N1005583276
심지어 아무런 근거도 없이 상위 1%만 맞춘다는 계산 문제로 둔갑하여 이렇게 어그로를 끌기도 합니다.
심지어 국내에서도 유명한 수학 강사들이 나서서 이런 문제를 해설하는데 강사들끼리도 답이 다르니 더욱 혼란이 가중되죠. 이런 이유로 이런 계산 문제는 나올 때마다 결론이 없는 논쟁만 이어집니다.
영상 출처:&nbsp;https://www.youtube.com/watch?v=gtTXacvZueg
영상 출처:&nbsp; https://www.tiktok.com/@jojo.math/video/6954305260731043073
영상 출처: https://www.youtube.com/watch?v=3doWeqpD5gk
● 한국학교수학회의 해석
문제의 논란이 시작되고 16년도에 한국 수학회에서 논문으로 이 연산을 해석하는 방향을 제시한 일이 있습니다. 논문에서도 서두에서는 48÷2(9+3)의 계산 결과가 얼마인지에 대한 명시적 근거를 찾기 어려웠다고 말합니다.
※ 논문 출처: https://www.koreascience.or.kr/article/JAKO201612460477747.pdf
즉, 이런 모양의 수식은 교과서 어디에서도 명확한 요령이나 그 풀이 사례가 없었기 때문에 논란이 된 것으로 여겨집니다. 곱셈의 생략은 중학교 1학년에서 처음 배우는데 모든 교과서에는 다음과 같이 생략해서 나타내는 요령만 제시되어 있습니다.
따라서 6÷2(1+2)와 같은 식의 계산 원리나 근거를 찾을 수가 없습니다. 그렇기에 이렇게 단순한 계산식이 이렇게나 오랫동안 답이 정해지지 않은 채 논란이 되는 거죠.
그래서 논문에서는 대수적 풀이를 산술적 풀이의 일반화로 보는 관점에서 이 수식의 답을 1이라고 해석합니다.
논문에서는 이러한 규칙들이 특별한 맥락 없이 제공되어 이러한 규칙들은 단순히 암기의 대상으로 간주하여 지도하였기에 이러한 혼란이 발생했다고 말합니다. 그리고 뒤에서는 함수의 이미지적 관점에서 문제의 식을 $a \div bc$를 $a \div b \times c$가 아니라 $a \div (b \times c)$로 계산하는 것과 같은 방식으로 해석하는 것이 적절하다는 결론을 내립니다.
단순히 정리한다면 이것은 수식 계산의 '일관성' 문제입니다. 논문에서 소개한 자료 외에도 다양한 교과서 지도서에는 다음과 같은 유의사항을 쉽게 찾을 수 있습니다.
이렇게 생략된 부분을 먼저 계산하는 것은 생략이라는 것이 곱셈의 의미뿐만 아니라 그들을 한 덩어리처럼 결합시키는 의미 또한 함께 가진다는 것이죠. 그렇기에 이런 역할을 다른 생략된 수식에도 똑같이 적용되어야 하는 것입니다.
수학에서 일관성을 강조하는 내용은 많이 찾아볼 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 양수 $a$에 대하여 $a^{0}$은 어떻게 정의할까요? 제곱이란 곱하는 횟수를 의미하는데 0번 곱했으면 그 답을 0이라고 정의해야 타당하다고 생각할 수도 있으나 $a^{0}$은 그 값을 $1$로 정의합니다. 왜냐? 이렇게 정의해야 기존에 정착된 이론인 지수법칙 $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$을 일관성 있게 사용할 수 있기 때문입니다. 즉, 이 법칙에서 $m=0$을 대입하면 $a^{0}\times a^{n}=a^{0+n}=a^{n}$이 되므로 $a^{0}=1$로 정의해야만 이 법칙을 보존할 수 있는 거죠. 마찬가지로 순열과 조합에서 사용하는 $_n\textrm{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$, $_n\textrm{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$에 r=n을 대입해도 일관성을 지킬 수 있도록 ${0!=0}$이 아니라 ${0!=1}$로 정의합니다.
결국, 괄호 생략도 마찬가지입니다. 문자가 들어간 식$6\div 2x$에서 $2x$는 하나의 덩어리로 취급되므로 분수로 바꾸면$\frac{6}{2x}$와 같습니다. 즉, $2x$는 그 값이 $2\times x$와 일치할 뿐 이 자체는 두 개의 개체가 아니라 하나의 개체로 본다는 뜻입니다. 그렇다면 일관성을 유지한 상태에서 이 식에$x=1+2$만 대입한 식 $6\div 2(1+2)$는 $\frac{6}{2(1+2)}$와 같아야 한다는 것이죠. 문자에 수를 대입했다고 해서 이 식이 갑자기 $6\div 2\times (1+2)=\frac{6\times(1+2)}{2}$가 되어버리면 수학적 질서에 혼란을 가져오겠죠.
● 지도서에 명시된 원리의 해석
저의 본격적인 논리는 여기서부터 시작됩니다.
대부분의 사람들은 본 문제를 봤을 때 두 개의 답 중 한 가지를 제시하지만, 나름 수학을 공부했다고 할만한 사람들 중에서는 수식 자체가 잘못되어서 답을 구할 수 없는 문제라고 주장하는 분들이 매우 많습니다. 즉, 정의가 안 된 식이라는 거죠. 그런데 사회적으로 합의가 되지 않은 것과 정의되지 않은 것은 구분해서 생각해 볼 필요가 있습니다.
이 식을 정의할 수 없다고 하는 분들의 대부분의 생각은 숫자끼리만 이루어진 식에서는 곱셈 기호의 생략이 불가능하다는 겁니다. 즉, 문제의 초점을 '숫자'에 두고 있습니다. 중학교 수학에서 배우는 내용을 보면 다음과 같이 숫자끼리의 곱셈에서는 곱셈의 생략을 정의하지 않았다는 거죠.
그렇다면 $2(1+2)$와 같은 수식을 사용할 수 없을까요? 아닙니다. 문자가 들어간 수식에 비해서 사용빈도가 낮을 뿐 고등학교 수학 교과서를 살펴보면 숫자만 들어가서 곱셈 기호가 생략된 식은 다음과 같이 거의 보편적이라고 할 수 있을 만큼 흔하게 등장합니다.
그리고 이러한 수식이 정의되는 근거는 다름아닌 앞에서 계속 제시했던 중학교 1학년 교과서에 있습니다.
즉, 핵심은 '숫자'가 아니라 '괄호'입니다. 숫자끼리에서의 곱셈 생략은 $2\times 3$을 $23$으로 표현하는 문제죠. 이것이 '이십삼'과 혼동되기 때문에 생략을 할 수 없는 것인데, 사람들은 이 문제를 숫자끼리의 곱셈 기호가 생략된 문제라고 착각합니다. 정확히 말하면 숫자끼리의 기호 생략이 아니라 '숫자'와 '괄호로 묶인 식'의 곱셈 생략입니다.
이제 식 $2(1+2)$는 명백하게 정의되며 보편적으로 사용되는 표준적인 식임을 알았습니다. 이제 $6 \div 2(1+2)$를 다시 생각해 봅시다. $6 \div 2x$ 같은 식은 $2x$를 먼저 곱하고 $6$에다 나누어야 한다는 건 이미 보편화되어 있습니다. 그리고 우리는 교사용 지도서에 명시되어 있는 다음 내용에 주목할 필요가 있습니다.
위의 자료는 미래엔 중학교 1학년 수학 교과서의 지도서입니다. 미래엔은 대한교과서라는 이름으로 운영되었다가 2011년에 출판사 명을 바꾼 출판사입니다. 현재 굉장히 많은 학교에서 수학교과서를 채택하여 사용하고 있으며, 임용고시를 준비하는 예비선생님들 사이에서 이 출판사의 지도서는 거의 임용고시 공부의 바이블로 여겨지고 있는 교재예요.
보다시피 위에 지도서에는 다음과 같이 명시되어 있습니다.
"괄호가 있는 곱셈은 괄호로 묶인 식을 하나의 문자로 생각하게 한다."
하나의 문자로 생각하게 한다는 것이 포인트죠. 그리고 괄호 안에 무엇이 들어있든 즉, $(2x+1)$도 괄호로 묶인 식이고 $( \overline{AB}+2)$도 괄호로 묶인 식이고 $(1+2)$도 괄호로 묶인 식입니다. 따라서 식 $6\div 2(1+2)$에서 괄호로 묶인 식 $(1+2)$는 하나의 문자처럼 생각합니다. 즉, $(1+2)=x$와 같이 하나의 문자로 치환하면 $6\div 2x$이 되죠. 그리고 이 식은 보편적인 방식에 따라 $2x$를 한꺼번에 묶어서 나눗셈을 합니다. 이러한 원리에 의해 $6\div 2(1+2)$는 $2(1+2)$를 한꺼번에 묶어서 나눗셈을 해야 한다고 말할 수 있죠.
괄호로 묶인 식을 문자로 생각한다는 말은 미래엔 지도서 말고도 여러 지도서에서 확인할 수 있습니다.
자료 출처: 지학사 중학교 1학년 수학 지도서자료 출처: 비상교육 중학교 1학년 수학 지도서
두 출판사의 지도서에는 아예 문자로 '취급'한다고 명시되어 있네요. 문자에서의 생략된 곱셈은 한 덩어리로 취급했는데 괄호로 묶인 식을 문자처럼 취급하라고 했으니 괄호식 또한 생략된 곱셈은 문자에서의 계산과 동일한 방식으로 계산해야 함을 알 수 있습니다.
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이러한 해석에 대해 누군가는 지도서의 지침을 과대 해석(?)한 거라고 말합니다. 괄호로 묶인 식까지 생략된 곱셈에서 우선 계산하라는 원칙은 나와있지 않다는 거죠. 또 누군가는 $2(2x+1)$과 같이 문자가 섞여있는 수식은 가능하지만, 그것을 $2(2+1)$인 경우까지 확장한다는 것은 표준적이지 못하며 논리적 비약이라고 말합니다.
그렇다면 다시 생각해 봅시다. 교과서에서 명시한 문구를 제한적으로만 해석해야 한다면 우리는 곱셈 기호의 생략을 문자와 괄호로 묶인 식에 한해서만 적용할 수 있습니다. 그것 외에 다른 대상에 대한 곱셈 생략을 언급한 적이 없으니까요.
그럼 다음 사례들은 뭐라고 설명할 수 있을까요?
위의 자료들은 모두 교과서이며 다른 교과서나 교과서 외의 어떠한 서적이나 교재들을 살펴봐도 흔히 볼 수 있는 표현들입니다. 중학교 1학년 교과서에서 생략을 배울 때는 분명히 문자와 괄호로 묶인 식에 대해서만 배웠습니다. 그런데 위의 사례들을 보면 괄호뿐만 아니라 절댓값 기호로 묶인 식에도 자연스럽게 곱셈 기호를 생략하고 있음을 알 수 있고, 선분이나 시그마 같은 특별한 수학 기호에도 곱셈 생략을 하고 있죠. 이것 말고도 극한을 나타내는 $lim$ 기호나 적분을 나타내는 $\int $ 기호에도 그 앞에 곱셈 기호를 생략 한 채 계수를 쓰는 경우는 매우 흔합니다.
즉, 곱셈 기호의 생략은 정확하게 명시한 상황에서만 쓰는 것이 아니라, 사칙 연산의 상황에서 곱셈 기호를 생략했을 때 해석에 혼란을 초래하지 않는다면 다양한 상황에서 매우 유연하게 사용할 수 있는 개념임을 알 수 있어요. 배운 원리를 명시한 대로의 상황으로만 제한하는 것이 아니라 그 이상으로 폭넓게 해석하고 있는 겁니다.
사실 수식, 기호를 사용하는 데 있어서 주의해야 할 점은 교과서에서 예외로 명시를 해주는 것이 일반적이죠. 본 주제인 곱셈 기호를 생략하는 내용만 해도 다음과 같이 표현하면 안 되는 상황이 있으면 구체적으로 안내합니다.
그리고 거듭제곱을 지수로 나타낼 때는 다음과 같이 0의 0 제곱은 정의하지 않는다는 말을 명시합니다.
출처: 좋은책 신사고 수학I
제가 앞에서 사회적으로 합의가 되지 않은 것과 정의되지 않은 것은 구분해서 생각해 볼 필요가 있다고 했었죠. 제가 말하고자 하는 정의가 안 된 것은 위의 사례처럼 혼동의 여지가 있으므로 이런 표현은 정의하지 않는다고 명백하게 확정한 경우를 말한 거예요. 반면 $6\div 2(1+2)$와 같은 식을 정의하지 않았다는 근거는 어디에서도 찾을 수 없습니다. 이러한 측면에서 본다면 $6\div 2(1+2)$는 답을 정할 수 없는 수식이 아니라 답을 생각해 본 적이 없는 수식이라고 봐야 하지 않을까요?
그럼 이제 다음의 문구를 다시 봅시다.
"괄호가 있는 곱셈은 괄호로 묶인 식을 하나의 문자로 생각하게 한다."
이 지침에서 '문자로 생각하게 한다.', '문자로 취급한다.'는 말은 생략하는 요령에 한해서만 적용할 수 있는 말일까요? 아니면 생략된 계산은 결합된 것으로 본다는 의미까지 함께 적용할 수 있는 말일까요? 후자라면 논란의 문제 $6\div 2(1+2)$는 명백하게 $1$이죠. 반대로 이 문제가 정의할 수 없는 식임이 명백하다면 위의 지침은 결합의 의미까지 포함하지는 않는다고 '확정' 지어서 해석해야만 합니다. 여러분은 어떻게 생각하시나요?
● 루트$(\sqrt{~~})$ 계산에서 본 원리의 해석
아직도 "괄호로 묶인 식을 문자로 취급한다"는 말이 결합까지 의미하진 않는다고 생각하신다면 다음 내용을 보시겠습니다.
우리가 배웠던 수학 기호중에는 꽤나 친숙하면서도 문자 없이 숫자만으로도 곱셈 기호를 생략하여 자주 나타냈던 수식이 있습니다. 바로 루트($\sqrt{~~~}$)죠. 논란의 문제를 괄호만 루트로 바꿔서 생각해 보겠습니다.
$6\div2\sqrt{3+6}$의 값은 얼마일까요? 여기서 사용된 루트 기호 $\sqrt{~~~}$는 안의 든 수를 제곱하기 전의 양수로 되돌리는 역할만 추가되었을 뿐 3+6을 먼저 계산해야 하는 점은 괄호의 역할과 동일합니다.$6\div 2(1+2)$을 $6\div 2\times (1+2)$로 해석하여 그 값을 9라고 주장하시는 분들은 $6\div2\sqrt{3+6}$ 또한 $6\div2\times\sqrt{3+6}$로 해석하여 그 값을 9라고 주장하셔야 일관성을 지킬 수 있겠죠.그런데 교과서와 지도서는 이 계산을 어떻게 하고 있을까요?
문자에서의 곱셈 기호 생략과 마찬가지로 위의 문제 4번에서 $2\sqrt{10}$을 하나처럼 묶어서 분모로 내리고 있음을 알 수 있죠. 또한, 위의 유사문제의 (2)번도 답이 $6\sqrt{6}$으로 제시된 것으로 보아
와 같이 계산해야 한다는 것을 보여줍니다.
이와 같은 계산은 다른 출판사의 교과서에도 찾아볼 수 있어요.
자료 출처: 비상교육 중3 교사용 지도서자료 출처: 비상교육 중3 교사용 지도서
이 계산에 의하면 먼저 질문한 수식 $6\div2\sqrt{3+6}$의 결과도 다음과 같이 명백하게 1이 됩니다.
이렇게 계산하는 근거는 중3 지도서에 명시된 단 한 줄입니다.
이 지침에 의해서 루트 기호의 경우는 문자 없이 숫자로만 이루어진 식들 사이에서도 곱셈 기호를 생략하는 표현은 매우 보편화되어 있습니다. 그리고 역시'문자처럼'이라는 간단한 말이 들어있죠. 교과서와 지도서는 이 간단한 문구만을 근거로 하여 곱셈기호의 생략을 넘어서 계산식에서 생략된 부분을 우선 계산하는 사례까지 보여줬습니다. 심지어 비상교육 교과서나 지도서는 다음과 같이 '문자처럼 취급한다'는 문구도 없이 곧바로 생략된 곱셈을 도입합니다.
자료출처: 비상교육 중3 교사용 지도서
이러한 사례를 봤을 때 '문자처럼' 취급한다는 말은 생략만 가능한 것이 아니라 생략된 곱셈을 결합된 것으로 본다는 문자의 성질을 그대로 따른다는 뜻이 됨을 알 수 있어요.
그렇다면 괄호로 묶인 식 역시 '문자처럼 취급하라'는 지침이 명시 돼있는데 이걸 근거로 생략된 부분을 먼저 계산한다고 보는 것이 과연 논리적 비약일까요? 만약 괄호로 묶인 식에 다른 원리를 적용해야 한다면 앞에서 절댓값이나 기타 다양한 기호 사이에 이루어진 생략된 곱셈은 전부 제각각의 원리를 적용해야 할까요? 그게 아니면 다음과 같이 어떠한 수식에 생략된 곱셈이 들어가든 일관성 있는 계산을 하는 것이 좋을까요? (참고로 $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수를 의미합니다.)
● 대입의 관점에서 본 6÷2(1+2)의 계산
수학에서 문자가 포함된 식을 계산할 때 빠질 수 없는 개념이 대입입니다. 대입은 한자 그대로 '대신 입력한다'는 뜻으로 어떤 수나 문자를 다른 수나 문자로 바꾸는 거죠. 그리고 대입에서 필수로 사용되는 기호가 바로 괄호입니다.
※ 자료출처: 좋은책 신사고 수학Ⅰ 교과서
예를 들어 위의 교과서 자료를 같이 보겠습니다. 고등학교 시절에 많이 공부했던 수열의 합에 대한 내용이죠. 위의 풀이에서는 $S_n=3n^2-n$으로 주어져 있는 상황에서 $S_{n-1}$을 구하기 위해 $3n^2-n$에서 $n$에다가 $n-1$을 대입합니다. 그렇다면 원래는 $n$의 제곱이었던 것이 $n-1$의 제곱으로 바뀌고, $n$을 뺄셈했던 것이 $n-1$을 뺄셈 하는 것으로 바뀌죠. 즉, 대입한 $n-1$을 한 덩어리로 취급하고 계산해야 하므로 여기에 괄호를 씌워서 다음의 식이 만들어지는 겁니다.
$S_{n-1}=3(n-1)^2-(n-1)$
이렇듯 대입을 위해서 괄호는 필수로 사용되죠. 위의 식에서 괄호가 없다면 엉터리 식이 될 테니까요.
이제 6÷2(1+2)의 계산을 위해 다음 예시를 들어보겠습니다.
예제. $x=1$이고 $a=x+2$일때, $6 \div 2a$의 값을 구하시오.
$6 \div 2a$가 $\frac{6}{2a}$와 같다는 건 중학교 1학년에서 배운 기초입니다. 그리고 조건에 의하면 $a=3$이므로 답은 $1$이 되겠죠.
이제 문제의 식을 조건에 따라 대입해서 나타내면 다음과 같습니다.
$6 \div 2a=6 \div 2(x+2)=6 \div 2(1+2)$
이 과정에 오류가 있나요? $a$에다 $x+2$를 대입하기 위해 괄호를 사용했고 $x$에다 $1$을 대입한 것에 불과하므로 논리적 오류가 전혀 없습니다. 이 과정에 의해 $6 \div 2(1+2)$ 역시 $1$이 될 수밖에 없는 거죠. $6 \div 2(1+2)$의 답이 $9$가 되어야 한다면 이런 자연스러운 대입과정을 사용할 수 없게 돼버립니다.
● 6÷2(1+2)=9의 계산 과정에서의 문제점
그렇다면 일반인뿐만 아니라 수학을 전문으로 하는 강사나 교수 중에도 적지 않은 분들이 $6\div 2(1+2)=9$임을 주장한 이유는 뭘까요? 이분들이 수학에 대한 지식이 부족해서 그랬을 리는 없겠죠.
이분들의 주장에는 처음에 언급했듯이 $6\div 2(1+2)$에 대한 명확한 규정을 한 적이 없으므로 식의 표현 자체가 틀렸다는 전제가 들어있습니다. 표현이 틀렸으므로 이걸 고치지 않는다면 답은 ‘없음’이 되지만, 이 수식이 2와 1+2의 의 곱셈을 의도한 것이라면 $6\div 2\times (1+2)$와 같이 제대로 표기해서 계산해야 한다는 논리인 거죠. 따라서 우선, 식에서 괄호 안을 먼저 계산하면 1+2=3이 되는데 이 계산 결과를 그대로 쓰면 $6\div 23$이 되어 이상한 수식이 되므로 이것을 $6\div 2\times3$으로 고쳐서 그 답을 9라고 주장합니다. 즉, 반대 측의 계산은 다음과 같습니다.
그러나 위에서 논한 대로 원리만 일관성 있게 지키면 여기에서 오류를 잡아낼 수 있습니다. 일단 $6\div 2(1+2)$에서 괄호 안을 먼저 계산해야 하는 것엔 틀림이 없습니다. 그러나 1+2=3을 계산했으면 그 결과는 $6\div 2\times3$이 아니라 $6\div 2(3)$이 되어야 합니다. 즉, 식 $6\div 2(1+2)$에서 아무것도 건드리지 말고 1+2에 3을 대신 넣은 다음 그 식을 해석해서 다음 단계로 가야 하는 거죠. 이제 곱셈 기호 생략의 역할을 살려서 계산하면 $6\div 2(3)=6\div6=1$이 됩니다. 결국, 문제의 식은 괄호가 있는 상태에서 기호를 생략하여 표시한 수식인데, 답이 9라고 주장하시는 분들은 이 식에서 임의로 괄호를 없애고 곱셈 기호를 추가하는 과정에서 오류가 발생하는 것이죠.
대입과 치환의 과정에서 오류를 찾을 수도 있어요. $6\div 2(1+2)$가 $9$라고 주장하는 분은 식 $6\div 2(1+2)$를 $6\div 2\times (1+2)$로 해석해야 한다고 주장합니다. 즉, 다음 식이 성립한다고 주장하는 거죠.
$6\div 2(1+2)=6\div 2\times (1+2)$
그러나 여기서 $1+2=x$로 치환한 다음 계산하면 다음과 같이 오류는 금방 끌어낼 수 있습니다.
이렇게 모순이 유도되는 이유는 처음 치환한 식 $6\div 2x=6\div 2\times x$에서 좌변은 $2x$를 먼저 계산하지만 우변은 왼쪽부터 차례대로 계산하기 때문이에요. 그리고 반복해서 말하지만 이 원칙은 중학교 1학년에서 배운 기초입니다. 수학에서 규칙의 일관성이 얼마나 중요한지는 더 이상의 설명이 필요 없겠죠.
● 계산기의 한계
$6\div 2(1+2)$의 값이 9가 된다고 주장하는 또 다른 근거는 계산기입니다. 많은 인터넷 계산기에서 다음과 같이 $6\div 2(1+2)=9$로 계산하고 있으므로 초등학교 때 배운 대로 연산은 왼쪽부터 순서대로 하는 것이 당연한 거 아니냐고 주장할 수 있습니다.
그렇다면 이들에게 $6\div 2\sqrt{9}$의 계산을 시켜보면 뭐라고 답을 할지 보겠습니다. 위에서 알아본 바에 의하면 이 수식은 $6\div 2\sqrt{9}=\frac{6}{2\sqrt{9}}=\frac{6}{2\times3}=1$로 계산합니다.
안타깝게도 네이버, 다음, 구글 계산기 모두 틀린 답을 냈습니다. 이 결과를 봤을 때 $6\div 2(1+2)=9$로 계산하는 다른 계산기에도 $6\div 2\sqrt{9}$를 입력하면 9로 답을 낼 거라 생각됩니다. 즉, 이러한 계산기에는 기호가 생략된 연산은 단순히 곱셈기호를 삽입한 다음 무조건 왼쪽부터 순서대로 계산하도록 설계되었을 뿐 기호 생략에 대한 별도의 계산 원리는 들어있지 않는 거죠. 따라서 이미 보편화되어 있는 계산의 법칙도 제대로 적용하지 못하고 있는 겁니다.
"계산기가 틀렸을 리가 없어!"라고 혹시라도 생각하시는 분들이 계시다면 한 가지 실험을 더 해보겠습니다. 우리는 중학교 1학년 때 배운 내용 중에서 숫자가 아닌 문자를 쓰지만 변수가 아니라 고유의 값을 나타내는 상수로 사용했던 수가 하나 있어요. 바로 파이($\pi$)죠.
자료출처: 좋은책 신사고 중1 수학 교사용 지도서
교사용 지도서에도 언급되어 있듯이 이 수는 당연히 문자처럼 다룰 수 있습니다. 즉, $2\times \pi$는 곱셈 기호를 생략하여 $2\pi$로 나타낼 수 있죠. 그리고 문자가 들어간 식에서 곱셈 기호의 생략은 그 대상을 한 덩어리로 묶어서 계산하도록 합니다. 즉, $2\pi \div 2\pi$의 계산은 $(2\pi) \div (2\pi)=1$로 계산해야 하는 건 명백한 원칙이자 사실이에요.
그렇다면 $6\div 2(1+2)=9$로 계산한 네이버, 구글, 다음은 $2\pi \div 2\pi$의 계산은 어떻게 할까요?
이제 확신이 좀 드시나요? 추가로 제 핸드폰에 어플로 깔린 계산기로도 실험해 보았습니다.
이들은 모두 $2\pi \div 2\pi=2\times \pi \div 2\times \pi=\pi ^2$로 계산했습니다. 즉, 이 계산기들은 생략된 곱셈과 생략되지 않은 곱셈을 구분하지 못하고 무조건 왼쪽부터 순서대로 계산하고 있음을 알 수 있어요. $\pi$ 뿐만 아니라 고등학교 미적분 시간에 배우는 무리수인 $e$를 가지고 계산을 해도 $2e \div 2e=2\times e \div 2\times e=e^2$로 계산한다는 걸 확인할 수 있었습니다. 이들은 생략된 곱셈을 어떻게 하는지 모르고 있었던 거예요.
● 포스팅을 마치면서
수학은 참이라고 합의된 공리, 공준을 바탕으로 완전한 논리적 전개를 통해 세상의 이치를 탐구하는 과목이지만 이 또한, 인간의 손을 거쳐 연구된 것이므로 불완전할 수밖에 없습니다. 우리가 잘 아는 수학자 피타고라스가 살았던 고대시대에는 유리수가 세상의 모든 수라고 생각하였고, 이것은 종교와 결합하여 신의 섭리하고 생각했기 때문에 그 범위를 벗어나는 수를 받아들이려고 하지 않았습니다. 이로 인해 무리수를 발견하고 실수체계가 보편화되기까지는 많은 어려움이 있었습니다.
로마 시대에는 숫자 0이 없었으나 로마의 상인들이 아라비아 상인들과 교역을 하면서 인도-아라비아 숫자를 도입하여 계산을 놀랍도록 편하게 할 수 있게 되었습니다. 그러나 남의 나라 방식을 도입한다는 것은 쉽게 받아들일 수 없는 일이었으며, 아무것도 없다는 뜻의 0이 왜 필요한지 이해할 수 없어서 당시의 사람들은 0이라는 기호를 악마의 술수라 하면서 거부하는 반응을 보였습니다. 현재 우리는 0이라는 수 덕분에 자릿수를 구분하고 여러 가지 수를 너무나 자연스럽게 표현할 수 있지만 0을 보편적으로 사용한 역사는 그리 오래되지 않았습니다.
이처럼 오늘날 우리가 배우는 수학은 처음부터 완성된 지식 체계가 아니라 오랜 시간에 걸쳐 많은 역사적 시련을 거치면서 발전되어 왔고 앞으로도 여러 과정을 거쳐 발전할 것입니다. 스트로가츠 교수 관련 기사의 제목처럼 인간을 달에 보내는 시대에 $6\div 2(1+2)$와 같은 단순한 계산에 10년이 넘도록 논쟁이 이어졌다는 사실은 현대의 수학도 완전하지 못함을 보여줍니다. 이는 학교 교육과정에서 곱셈 기호의 생략이 가지는 의미를 제대로 이해시키는 것에 중점을 두지 않고 그 방법을 외우고 연습시키는 데에만 집중한 탓입니다. 이번 논쟁을 바탕으로 수학적 기호가 가지는 역할에 대해 다시 한번 돌아보고 생각해봐야 하며 새로운 정의가 필요할 때는 기존의 수학 체계를 지키고 발전시키는 방향으로 합의가 필요함을 느끼게 됩니다. 또한, 학교에서는 학회의 논문을 근거로 하여 수업 및 평가에서 표기 사용에 혼란이 일어나지 않도록 해야 하겠습니다.
※ 자료출처: 위키백과 ( https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%B1%EC%85%88 )
● (추가 글)댓글 반박 내용 정리
사람들 사이에서 관심이 많은 논쟁이다 보니 제 글에 반박을 시도하시는 분이 등장했습니다. 특히 한 사람과 70개가 넘는 댓글을주고받으면서논쟁을 했는데요. 이 분과 논쟁했던 얘기를 본문에서 추가하여정리할 테니관심이있으신 분만보세요.
사회적으로 합의가 되지 않은 식인데 이걸 마음대로 정의했다고 비판을 시작합니다. 사회적으로 합의가 명확하게 되지 않은 것은 맞죠. 합의가 되었으면 이렇게 오랫동안 논쟁거리가 되지도 않았을 겁니다.
여기까지 읽어보면 ㅇ ㅇ님의 생각은 $6\div 2(1+2)$와 같은 식은 중의적 표현이므로 마음대로 정의하면 안 된다는 생각이 강하게 자리 잡고 있음을 알 수 있어요. 제가 쓴 글이 마치 "아버지가방에들어가신다"와 같은 중의적 표현을 한 가지 뜻으로 통일해서 정의하자는 소리처럼 들렸던 거죠.
그런데 여기서부터 ㅇ ㅇ님의 황당한 논리가 시작됩니다. 수학 수식을 정의하는데 난데없이 컴퓨터 자판이 등장합니다. 처음에는 이분의 논리가 무슨 뜻인지 명확하게 이해하지 못해서 이 내용으로 오랫동안 댓글을 주고받으면서 논쟁을 했는데, ㅇ ㅇ님이 하고 싶었던 말은 키보드로 "8/2(2+2)"를 쳤을 경우 이 식이 아래의 두 식 중 어떤 식을 의미하는지 구분할 수 없다는 뜻이었습니다.
구분할 수 없는 것은 맞습니다. 애초에 키보드 자판만으로는 수식 표현에 한계가 있으니까요. 그런데 ㅇ ㅇ님은 이러한 이유로 $8\div 2(2+2)$은 정의하면 안 되고 수학에서 등장하면 안 되는 수식이라고 주장합니다. 괄호를 쳐서 명확하게 구분한 $(8\div 2)(2+2)$나 $8\div \left\{2(2+2)\right\}$만 허용되는 수식이라고 말합니다.
말도 안 되는 주장이죠. 애초에 표현에 한계를 가진 키보드로 명확하게 표현하지 못했다고 해서 수학 수식이 표현에 제약을 받아야 한다면 여기에 걸리는 수식이 한두 가지가 아닙니다. $4\div 2a$가 $4\div (2a)$와 같다는 사실은 이미 중학교 1학년 때 배운 건데 이 논리에 따른다면 이 표현 또한 쓸 수 없게 되죠. 이 식을 키보드로 치면 "4/2a"가 되는데 이렇게 키보드로 표현한 식은 아래의 두 식중 어떤 식을 의미하는지 구분할 수 없기 때문입니다.
이렇게 애매모호한 중의적 표현이 되는 이유는 다름 아닌 키보드 자판의 한계 때문입니다. 애초에 수학에서는 분수를 표현할 때 빗금 기호(/)를 쓰지 않습니다. /가 양쪽의 어디까지 계산하는 건지 불분명하니까요. 다만 키보드 자판만으로는 분수 표현이 어려우니까 이것이 과학에서 단위를 쓸 때나 일상에서 산수를 할 때 간단한 표기를 위해 빗금을 대신 사용하는 거죠. 이런 불완전한 기호를 가지고 와서 오류를 유도했으니 당신 주장은 엉터리라고 주장하는 게 ㅇ ㅇ님의 논리입니다.
초등학교에서 배운 연산인 $8\div 2\div 2$의 답이 $2$가 된다는 건 누구나 아는 상식이죠. 그런데 이 식을 키보드로 치면 "8/2/2"와 같이 입력해야 합니다. 그렇다면 반대로 생각해서 키보드로 친 "8/2/2"은 다음의 두 식중 무엇을 의미할까요?
역시 구분할 수 없습니다. 왼쪽 분수식을 풀면 $2$이고 오른쪽 분수식을 풀면 $8$이 되는데 "8/2/2"역시 중의적 표현을 갖게 되죠. 그렇다면 위와 같은 연분수식 표현 또한 금지해야 하며 $8\div 2\div 2$와 같은 계산식도 사용할 수 없습니다. ㅇ ㅇ님의 논리를 따른다면요.
위의 댓글을 보면 이분은 애초에 $3^{ab~}$같은 수식도 본인의 상식에서 허용되지 않은 수식이었던 거예요.
수식 $3^{ab~}$는 키보드로 "3^ab"로 쳐야 하는데 이런 식으로 친 수식은 $3^ab$를 의미할 수도 있다는 겁니다. 이렇게 모든 수학 수식을 오직 키보드로만 허용 기준을 나누고 있음을 알 수 있어요. 키보드로 쳤을 때 헷갈리지 않도록 $3^{(ab)~}$와 같이 괄호를 쳐야만 수학적으로 올바른 수식이라는 겁니다. 이미 허용되어 널리 사용되고 있는 수식까지 본인만의 기준으로 수학으로 인정할 수 없는 식이라고 주장하죠. 그럼 키보드만으론 표현이 거의 불가능한 정적분 수식이나 행렬 같은 건 아예 수학에서 빼자는 소리나 다름없습니다.
여기까지만 정리해도 ㅇ ㅇ님의 반박은 논리라고 할 수도 없을 만큼 본인만의 수학 세계에 빠져있는 것을 알 수 있는데요.
댓글 쓴 걸 보면 말만 안 통하는 게 아니라 게시글 작성자에 대한 최소한의 존중조차 없어 보입니다.
그래서 위의 댓글처럼 명확한 반례를 가져와보라고 했더니 다음과 같이 사례를 제시하기 시작합니다.
이러면서 제 정의를 따르면 곱셈에서 교환법칙을 성립하지 않는 사례를 만들었으니 필즈상을 받게 될 거라고 비아냥거립니다.
위에서 제시한 사례는 $(2+2)$를 $a$로만 바꾸면 다음과 같이 똑같은 말을 할 수 있어요.
$8/2=\frac{8}{2}$ 양변에 $a$를 곱하면 $8/2a=\frac{8}{2}a$ 왼쪽은 $\frac{4}{a}$ 오른쪽은 $4a$이므로 $\frac{1}{a}=a$ ... (임의의 모든 수 $a$는 $a^2=1$을 만족한다.)
$8/2a=a8/2$ 이게 교환법칙이 성립될 수 없다고 논문 쓰고, 수학자들에게 인정받으면 필즈상 간다..
이런 식이면 이미 보편적으로 배워서 쓰고 있는 수식 $8\div 2a$도 사용하면 안 된다는 소리가 됩니다. 기존의 수학체계까지 다 망가뜨리는 반례가 과연 반박이 될 수 있을지는 독자님들의 판단에 맡기겠습니다.
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