논란의 곱셈 생략 계산 문제 8÷2(2+2), 6÷2(1+2)의 반박 불가능한 완전한 종결 (48÷2(3+9) 순서 논쟁)
안녕하세요? holymath입니다. 오늘은 알만한 사람들은 누구나 알고 있는 10년도 넘은 계산 논쟁 문제에 대해 얘기해 보겠습니다. 바로 6÷2(1+2)의 답이 무엇인가인데요. 너무도 간단해 보이는 이 계산문제가 왼쪽부터 차례대로 계산하면 9가 되지만 2와 (1+2) 부분을 먼저 계산하면 1이 되어 답이 두 개로 나뉘어 혼란에 빠집니다. 지금도 인터넷에서 어그로를 끌기 위해 8÷2(2+2)의 답은 무엇인가를 주제로 기사가 나오고 있으며 그때마다 "답은 16이다.", "아니다, 답은 1이다."로 불티나게 논쟁이 일어나는데요.
저는 오늘 이 논란의 종지부를 찍기 위해 포스팅을 작성하였습니다. 이미 SNS에서 많이 접한 분들이 계셔서 "이제 이런 문제는 지겹다.", "이 문제는 이미 종결 난 거다."라고 말씀하실 분들도 계실 텐데요. 유명한 강사나 교수들도 이 문제에 대해 다른 해석을 하고 있는 상황이라 종결되었다고 볼 수 없으며 지금도 잊을만하면 숫자만 바뀌어서 SNS 게시물로 끊임없이 기어 나와서 어그로를 끌고 있고 그때마다 사람들의 의견은 갈라집니다.
사실 16년도 한국학교수학회에서 이 논란에 대한 입장을 논문으로 발표한 일이 있었는데 잘 알려지지 않았습니다. 저는 이 논문의 입장과 이미 보편화되어 있는 계산 원리를 바탕으로 문제 6÷2(1+2)의 답이 1 임을 말씀드리려고 합니다. 이 포스트를 읽고 나면 더 이상 누구도 반박할 수 없을 거라 확신하며, 추후 인터넷에서 이런 문제가 또 등장하면 이 포스팅을 소개해주시면 감사하겠습니다.
PS. 논란이 많은 민감한 주제이다 보니 댓글이 엄청나게 많이 달렸습니다. 반박 불가라고 글을 소개했는데 이미 사람들이 댓글로 반박하고 있는 것 아닌가 하는 생각이 드실 텐데요. 댓글로 반박을 시도하신 분들은 현재까지 딱 2명이고 모두 반박에 실패했습니다. 그중 한 명과 70개가 넘는 댓글을 주고받으면서 댓글창이 매우 시끄러워진 건데요. 본문 맨 끝에다가 그 내용을 따로 정리했으니 같이 참고하시면 되겠습니다. 결론은 현재까지 반박다운 반박을 하신 분은 '없다'입니다.
<목차>
● 문제 소개 ● 곱셈 기호 생략의 적용대상 확장의 필요성 ● 한국학교수학회의 해석 ● 문자의 연산법칙의 관점에서 본 6÷2(1+2)의 계산 ● 교사용 지도서에 명시된 괄호로 묶인 식 취급 방법 (2023.10.15 추가) ● 대입의 관점에서 본 6÷2(1+2)의 계산 (2024.02.18 추가) ● 루트$(\sqrt{~~})$ 계산법칙의 관점에서 본 6÷2(1+2)의 계산 ● 6÷2(1+2)=9의 계산 과정에서의 문제점 ● 6÷2(1+2)=9일 경우 대입, 치환에서 발생하는 오류 (2024.02.20 추가) ● 계산기의 한계 ● 포스팅을 마치면서
● 문제 소개
곱셈 기호가 생략된 계산 문제는 2011년 미국의 어떤 수학 시험에서 $48\div 2(3+9)$라는 문제에서 시작되어 이 답이 2이냐 288이냐를 두고 논란이 시작되었습니다. 계산기도 제품마다 다른 결과를 내면서 폭발적인 관심을 끌었죠.
※ 자료출처: 나무위키( https://namu.wiki/w/48%C3%B72(9%2B3) )계산기마다 다른 계산 결과
당시 미국의 대학교수인 스트로가츠가 왼쪽부터 차례대로 계산해야 하므로 답이 288이라고 주장했고 이것이 기사로 퍼지면서 논란이 종결되는 듯 보였습니다.
그러나 스트로가츠 교수가 주장했을 당시 많은 사람들한테서 엄청난 반박이 쏟아졌고 그 반박의 근거로 미국수학협회의 규칙을 제시했습니다. 그리고 교수는 그 규칙이 보편적이지 않다고 대응하면서 확실한 결론이 나지 않았죠.
그리고 이 논란은 오늘날까지 8÷2(2+2), 6÷2(1+2)로 재생산되어 끊임없이 등장하고 있으며, 이러한 기사들 중에는 스트로가츠 교수의 입장에 따라 왼쪽부터 차례대로 계산하는 것이 답인 것처럼 소개하는 기사들이 많습니다.
※ 기사 출처: https://www.dongascience.com/news.php?idx=30360 (2019.08.04)
※ 기사 출처: https://news.sbs.co.kr/news/endPage.do?news_id=N1005583276
심지어 아무런 근거도 없이 상위 1%만 맞춘다는 계산 문제로 둔갑하여 이렇게 어그로를 끌기도 합니다.
※ 기사 출처: https://www.insight.co.kr/news/231102?fbclid=IwAR21bH8FlQMnucmrKtdL0sNAvOL9KiY4rv0eAUfAYDi-x6B9mhiJaHOhuRw
심지어 국내에서도 유명한 수학 강사들이 나서서 이런 문제를 해설하는데 강사들끼리도 답이 다르니 더욱 혼란이 가중되죠. 이런 이유로 이런 계산 문제는 나올 때마다 결론이 없는 논쟁만 이어집니다.
영상 출처:&nbsp;https://www.youtube.com/watch?v=gtTXacvZueg
영상 출처:&nbsp; https://www.tiktok.com/@jojo.math/video/6954305260731043073
영상 출처: https://www.youtube.com/watch?v=3doWeqpD5gk
● 곱셈 기호 생략의 적용대상 확장의 필요성
단순한 계산문제에 이렇게나 다른 주장이 나오는 이유는 연산에서 곱셈 기호가 생략된 부분 때문인데요. 곱셈 기호의 생략은 중학교 1학년 때 배우고 그 외의 나머지 연산은 초등학교에서 다 배우는 기본 사칙연산인데 왜 이렇게 답이 애매하게 나타나는 걸까요? 이것은 숫자끼리의 곱셈 연산에서는 곱셈 기호의 생략을 명확하게 규정한 적이 없기 때문입니다. 다음은 중1 교과서에서 곱셈 기호의 생략을 배우는 부분입니다.
위와 같이 곱셈 기호의 생략은 문자가 포함되는 경우로 제한하여 정의하고 있습니다. 따라서 $2(1+2)$와 같이 숫자로만 이루어진 연산을 명시하는 부분이 없으니까 기존에 약속했던 방식을 토대로 이런 식의 의미를 유추하는 과정에서 의견이 갈리게 되는 거죠. 따라서 이 문제는 애초에 표현이 잘못되었으므로 정답을 정할 수 없다고 결론을 내리기도 합니다.
그렇다면 과연 $2(1+2)$와같은 표현 자체를 수학에서 금지해야 하는 것이 옳을까요? 숫자끼리의 곱셈 기호의 생략을 정의하지 않은 이유는 $2\times 3=23$처럼 표현에 혼란을 가져오기 때문인데, 괄호로 구분되어 있다면 혼동할 일은 없죠. 식 $2(1+2)$에서 괄호 안에 숫자 하나만 문자로 바꾼 식은 다음과 같이 보편적으로 쓰이고 있습니다.
그렇다면 보편적으로 쓰이는 식 $2(x+2)$에다가 $x=1$만 대입하면 $2(1+2)$이 되므로 사실상 수학 문제를 풀다 보면 이러한 식을 계산해야 할 일은 얼마든지 발생할 수 있습니다. 실제로 대학 수학이나 다양한 수학 교재에서 다음과 같이 숫자끼리도 괄호로 구분하고 곱셈 기호를 생략하여 식을 나타내기도 합니다.
애초에 문제 $6\div 2(1+2)$를 본 대부분의 사람들은 곧바로 이 문제에서 2와 (1+2) 사이의 연산을 곱셈으로 인지하지, 이 식을 보자마자 “이런 식은 정의되지 않는다”라고 확답을 내리는 사람은 극히 드물죠. 이런 부분을 고려했을 때, 자유롭고 창의적인 사고를 통해 문제 상황을 해결하는 수학이란 학문의 특성을 살리자면 이런 표현을 금지할 것이 아니라 추가적인 합의를 통해 이 식의 의미를 정의하는 것이 필요해 보입니다. 즉, 괄호로 구분할 수 있을 때는 문자 없이 숫자만 있어도 기호를 생략하여 곱셈을 표현할 수 있도록 허용하자는 것이죠. 그렇다면 여기서 중요한 건 $2(1+2)$을 $2\times(1+2)$로 정의해야 하는가, 아니면 $\left\{ 2\times(1+2) \right\}$로 정의해야 하는가입니다.
● 한국학교수학회의 해석
사실 이미 16년도에 한국 수학회에서 논문으로 이 연산을 해석하는 방향을 제시한 일이 있습니다. 사실상 거의 결론이 난 것이나 마찬가지인데 기사를 통해 전해지질 않아서 많은 사람들이 잘 모르고 있었습니다.
※ 논문 출처: https://www.koreascience.or.kr/article/JAKO201612460477747.pdf
논문에서도 다음과 같이 이러한 표현을 정해줄 필요가 있다는 얘기를 하고 있죠.
이제 논란이 된 이 문제의 답을 얘기하겠습니다.
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$6\div 2(1+2)$는 곱셈 기호가 생략된 부분을 먼저 계산한 $6\div \left\{ 2\times(1+2) \right\}$로 해석하여 답은 1이 됩니다. 마찬가지로 $8\div 2(2+2)$의 답 또한 1입니다. 그리고 논문에서는 이렇게 정해야 하는 타당한 근거를 문자에서 곱셈 기호를 생략할 때 $ab$는 $a \times b$가 아니라 $(a \times b)$라는 사실에서 도출하고 있습니다.
● 문자의 연산법칙의 관점에서 본 6÷2(1+2)의 계산
6÷2(1+2)의 답을 9라고 생각하신 분들은 꽤 혼란스러워하실 수 있는데요. 곱셈 기호가 생략된 문자의 계산이 어떻게 되고 있는지 중학교 교과서를 참고해 보겠습니다.
위의 연산에 의하면 $\div3a $에서 $3a$ 전체가 나눗셈 연산에 적용된다는 사실을 알 수 있죠. $3a$의 정의가 그저 곱셈 기호만 생략된 $3a=3\times a$에 불과하다면 위의 연산은
가 되어 완전히 다른 답을 도출합니다. 즉, $3a$는 $3a=3\times a$가 아니라 $3a=(3\times a)$로 정의되고 있다는 거죠. 곱셈 기호의 생략은 단순히 표현의 번거로움만을 줄이는 것이 아니라 서로 다른 개체를 하나의 덩어리로 묶는 역할까지 하고 있다는 뜻입니다. 즉, $3a$는 그 값을 계산하면 $3\times a$와 같은 값이 될 뿐이지, $3a$는 그 자체로 하나의 수인 겁니다. 논문에서도 다음과 같이 교사용 지도서에 제시한 각종 유의사항을 언급하고 있습니다.
그렇다면 이러한 곱셈 기호의 생략이 숫자끼리의 연산에서도 적용되려면 그 역할을 기존의 역할과 같도록 정의하는 게 좋을까요, 다르게 정의하는 게 좋을까요? 수학에서 특정한 기호나 새로운 대상을 정의할 때 중요한 건 원리, 원칙의 일관성입니다. 다른 과목에서도 물론 중요하겠지만 수학에서는 특히 더 중요하죠.
예를 들어, 어떤 양수 $a$에 대하여 $a^{0}$은 어떻게 정의할까요? 제곱이란 곱하는 횟수를 의미하는데 0번 곱했으면 그 답을 0이라고 정의해야 타당하다고 생각할 수도 있으나 $a^{0}$은 그 값을 $1$로 정의합니다. 왜냐? 이렇게 정의해야 기존에 정착된 이론인 지수법칙 $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$을 일관성 있게 사용할 수 있기 때문입니다. 즉, 이 법칙에서 $m=0$을 대입하면 $a^{0}\times a^{n}=a^{0+n}=a^{n}$이 되므로 $a^{0}=1$로 정의해야만 이 법칙을 보존할 수 있는 거죠. 마찬가지로 순열과 조합에서 사용하는 $_n\textrm{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$, $_n\textrm{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$에 r=n을 대입해도 일관성을 지킬 수 있도록 ${0!=0}$이 아니라 ${0!=1}$로 정의합니다.
결국, 괄호 생략도 마찬가지입니다. 문자가 들어간 식 $6\div 2(x+2)$에서 $2(x+2)$는 하나의 덩어리로 취급되므로 분수로 바꾸면 $\frac{6}{2(x+2)}$와 같습니다. 그렇다면 일관성을 유지한 상태에서 이 식에 $x=1$만 대입한 식 $6\div 2(1+2)$는 $\frac{6}{2(1+2)}$와 같아야 한다는 것이죠. 문자에 수를 대입했다고 해서 이 식이 갑자기 $6\div 2\times (1+2)=\frac{6\times(1+2)}{2}$가 되어버리면 기존의 원리, 원칙을 무너뜨리는 것이나 다름없는 겁니다.
● 교사용 지도서에 명시된 괄호로 묶인 식 취급 방법 (2023.10.15 추가)
문자가 들어간 식 $6\div 2(x+2)$의 계산에 대해 좀 더 자세히 얘기해 보겠습니다. 바로 위에서 이 계산은 $2(x+2)$를 하나의 덩어리로 취급하여 한꺼번에 나눗셈을 한다고 설명했는데 실제로 교과서나 EBS교재 등에서는 이러한 계산이 들어간 사례는 존재하지 않습니다. 그 이유는 계산 순서에 있어서 헷갈릴 수 있는 상황을 피하기 위해서인데요. 학습자의 입장을 생각해서 교재나 시험문제를 출제할 때 출제자의 의도를 분명히 할 수 있도록 조건을 명확하게 써주는 것이 좋은 건 맞습니다. 이러한 이유로 어떤 분은 $6\div 2(x+2)$자체가 수학적으로 정의할 수 없는 엉터리 식이라고 주장하기도 하는데요. 교과서의 설명이나 각종 지도서의 유의사항에 근거하면 이 계산의 순서를 유도할 수 있습니다.
아래의 자료는 미래엔 중학교 1학년 수학 교과서의 지도서입니다. 미래엔은 대한교과서라는 이름으로 운영되었다가 2011년에 출판사 명을 바꾼 출판사입니다. 현재 굉장히 많은 학교에서 수학교과서를 채택하여 사용하고 있으며, 임용고시를 준비하는 예비선생님들 사이에서 이 출판사의 지도서는 거의 임용고시 공부의 바이블로 여겨지고 있습니다.
보다시피 이 자료에서 하단 부분에 이렇게 쓰여있어요.
"괄호가 있는 곱셈은 괄호로 묶인 식을 하나의 문자로 생각하게 한다."
하나의 문자로 생각하게 한다는 것이 포인트죠. 식 $6\div 2(x+2)$에서 괄호로 묶인 식 $(x+2)$는 하나의 문자처럼 생각합니다. 즉, $(x+2)=a$와 같이 하나의 문자로 치환하면 $6\div 2a$이 되죠. 그리고 이 식은 보편적인 방식에 따라 $2a$를 한꺼번에 묶어서 나눗셈을 합니다. 이러한 원리에 의해 $6\div 2(x+2)$는 $2(x+2)$를 한꺼번에 묶어서 나눗셈을 합니다.
사실 이 원리만 제대로 적용하면 $6\div 2(1+2)$의 계산도 다른 이유 필요 없이 $2(1+2)$가 한꺼번에 묶여서 계산되어야 하는 것은 너무도 당연합니다. 이 계산이 지금까지 논란이 계속된 이유는 교과서나 EBS교재 등 어디에서도 이런 계산이 등장한 적이 없기 때문이지, 위에 설명된 유의사항에서 괄호 안에 구체적으로 무엇이 들어가야 하는지에 대한 얘기는 어디에도 없습니다. 즉, 숫자끼리만 있는 $2(1+2)$나 문자가 섞여있는 $2(x+2)$나 괄호로 묶인 식을 하나의 문자처럼 생각하는 건 똑같다는 거예요.
● 대입의 관점에서 본 6÷2(1+2)의 계산 (2024.02.18 추가)
수학에서 문자가 포함된 식을 계산할 때 빠질 수 없는 개념이 대입입니다. 대입은 한자 그대로 '대신 입력한다'는 뜻으로 어떤 수나 문자를 다른 수나 문자로 바꾸는 거죠. 그리고 대입에서 필수로 사용되는 기호가 바로 괄호입니다.
※ 자료출처: 좋은책 신사고 수학Ⅰ 교과서
예를 들어 위의 교과서 자료를 같이 보겠습니다. 고등학교 시절에 많이 공부했던 수열의 합에 대한 내용이죠. 위의 풀이에서는 $S_n=3n^2-n$으로 주어져 있는 상황에서 $S_{n-1}$을 구하기 위해 $3n^2-n$에서 $n$에다가 $n-1$을 대입합니다. 그렇다면 원래는 $n$의 제곱이었던 것이 $n-1$의 제곱으로 바뀌고, $n$을 뺄셈했던 것이 $n-1$을 뺄셈하는 것으로 바뀌죠. 즉, 대입한 $n-1$을 한 덩어리로 취급하고 계산해야 하므로 여기에 괄호를 씌워서 다음의 식이 만들어지는 겁니다.
$S_{n-1}=3(n-1)^2-(n-1)$
이렇듯 대입을 위해서 괄호는 필수로 사용되죠. 위의 식에서 괄호가 없다면 엉터리 식이 될 테니까요.
이제 6÷2(1+2)의 계산을 위해 다음 예시를 들어보겠습니다.
$x=1$이고 $a=x+2$일때, $6 \div 2a$의 값을 구하시오.
$6 \div 2a$가 $\frac{6}{2a}$와 같다는 건 중학교 1학년에서 배운 기초입니다. 그리고 조건에 의하면 $a=3$이므로 답은 $1$이 되겠죠.
이제 문제의 식을 조건에 따라 대입해서 나타내면 다음과 같습니다.
$6 \div 2a=6 \div 2(x+2)=6 \div 2(1+2)$
이 과정에 오류가 있나요? $a$에다 $x+2$를 대입하기 위해 괄호를 사용했고 $x$에다 $1$을 대입한 것에 불과하므로 논리적 오류가 전혀 없습니다. 이 과정에 의해 $6 \div 2(1+2)$ 역시 $1$이 될 수밖에 없는 거죠. $6 \div 2(1+2)$의 답이 $9$가 되어야 한다면 이런 자연스러운 대입과정을 사용할 수 없게 돼버립니다.
● 루트$(\sqrt{~~})$ 계산 법칙의의 관점에서 본 6÷2(1+2)의 계산
우리가 배웠던 수학 기호중에는 꽤나 친숙하면서도 문자 없이 숫자만으로도 곱셈 기호를 생략하여 자주 나타냈던 수식이 있습니다. 바로 루트($\sqrt{~~~}$)죠. 논란의 문제를 괄호만 루트로 바꿔서 생각해 보겠습니다.
$6\div2\sqrt{3+6}$의 값은 얼마일까요? 여기서 사용된 루트 기호 $\sqrt{~~~}$는 안의 든 수를 제곱하기 전의 양수로 되돌리는 역할만 추가되었을 뿐 3+6을 먼저 계산해야 하는 점은 괄호의 역할과 동일합니다. $6\div 2(1+2)$을 $6\div 2\times (1+2)$로 해석하여 그 값을 9라고 주장하시는 분들은 $6\div2\sqrt{3+6}$ 또한 $6\div2\times\sqrt{3+6}$로 해석하여 그 값을 9라고 주장하셔야 일관성을 지킬 수 있겠죠. 하지만 다음과 같이 그 값은 명백하게 1이 됩니다.
이렇게 계산하는 근거는 이미 중3 교과서에서 명시하고 있습니다.
보다시피 $2\sqrt{5}$는 숫자로만 이루어져 있고 문자는 전혀 없지만, 루트 기호가 숫자와 숫자 사이를 구분해주고 있으므로 곱셈 기호를 생략할 수 있으며 실제로 이런 표현은 매우 보편화되어 있습니다. 그리고 '문자처럼'이라는 말이 들어간 것을 알 수 있는데, 이건 위의 지도서뿐만 아니라 어떤 출판사의 지도서를 펼쳐도 공통적으로 들어있는 문구입니다. 이런 점을 봤을 때, 곱셈 기호가 생략된 계산 또한 문자에서의 계산과 같은 방식으로 해야 일관성이 있는 거죠. 이제 실제로 제곱근 식의 나눗셈 계산을 어떻게 하는지 보겠습니다.
문자에서의 곱셈 기호 생략과 마찬가지로 위의 문제 4번에서 $2\sqrt{10}$을 하나처럼 묶어서 분모로 내리고 있음을 알 수 있죠. 또한, 위의 유사문제의 (2)번도 답이 $6\sqrt{6}$으로 제시된 것으로 보아
와 같이 계산해야 한다는 것을 보여줍니다.
결국, 곱셈 기호가 생략된 곱셈은 문자 없이 숫자로만 구성되어 있다 하더라도 수식 기호를 통해 숫자끼리 구분이 가능한 상태에서는 한 덩어리로 취급하여 계산해야 한다는 것을 보여줍니다. 이러한 사실을 제곱근 수식의 계산을 통해 알 수 있었고, 여기에 루트 기호 대신 다른 기호가 대신 들어가도 같은 원리로 계산하면 된다는 결론을 내릴 수 있죠. 즉, 괄호뿐만 아니라 다음과 같이 다양한 수학 기호를 통한 모든 수식은 같은 원리로 해석하면 되는 겁니다. 참고로 $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수를 의미합니다.
● 6÷2(1+2)=9의 계산 과정에서의 문제점
그렇다면 일반인뿐만 아니라 수학을 전문으로 하는 강사나 교수 중에도 적지 않은 분들이 $6\div 2(1+2)=9$임을 주장한 이유는 뭘까요? 이분들이 수학에 대한 지식이 부족해서 그랬을 리는 없겠죠.
이분들의 주장에는 처음에 언급했듯이 $6\div 2(1+2)$에 대한 명확한 규정을 한 적이 없으므로 식의 표현 자체가 틀렸다는 전제가 들어있습니다. 표현이 틀렸으므로 이걸 고치지 않는다면 답은 ‘없음’이 되지만, 이 수식이 2와 1+2의 의 곱셈을 의도한 것이라면 $6\div 2\times (1+2)$와 같이 제대로 표기해서 계산해야 한다는 논리인 거죠. 따라서 우선, 식에서 괄호 안을 먼저 계산하면 1+2=3이 되는데 이 계산 결과를 그대로 쓰면 $6\div 23$이 되어 이상한 수식이 되므로 이것을 $6\div 2\times3$으로 고쳐서 그 답을 9라고 주장합니다. 즉, 반대파의 계산은 다음과 같습니다.
그러나 위에서 논한 대로 규칙의 일관성만 확장하면 여기에서 오류를 잡아낼 수 있습니다. 일단 $6\div 2(1+2)$에서 괄호 안을 먼저 계산해야 하는 것엔 틀림이 없습니다. 그러나 1+2=3을 계산했으면 그 결과는 $6\div 2\times3$이 아니라 $6\div 2(3)$이 되어야 합니다. 즉, 식 $6\div 2(1+2)$에서 아무것도 건드리지 말고 1+2에 3을 대신 넣은 다음 그 식을 해석해서 다음 단계로 가야 하는 거죠. 이제 곱셈 기호 생략의 역할을 살려서 계산하면 $6\div 2(3)=6\div6=1$이 됩니다. 결국, 문제의 식은 괄호가 있는 상태에서 기호를 생략하여 표시한 수식인데, 답이 9라고 주장하시는 분들은 이 식에서 임의로 괄호를 없애고 곱셈 기호를 추가하는 과정에서 오류가 발생하는 것이죠.
● 6÷2(1+2)=9일 경우 대입, 치환에서 발생하는 오류 (2024.02.20 추가)
$6\div 2(1+2)$가 $9$라고 주장하는 분은 식 $6\div 2(1+2)$를 $6\div 2\times (1+2)$로 해석해야 한다고 주장합니다. 즉, 다음 식이 성립한다고 주장하는 거죠.
$6\div 2(1+2)=6\div 2\times (1+2)$
그러나 여기서 $1+2=x$로 치환한 다음 계산하면 다음과 같이 오류는 금방 끌어낼 수 있습니다.
이렇게 모순이 유도되는 이유는 처음 치환한 식 $6\div 2x=6\div 2\times x$에서 좌변은 $2x$를 먼저 계산하지만 우변은 왼쪽부터 차례대로 계산하기 때문이에요. 그리고 반복해서 말하지만 이 원칙은 중학교 1학년에서 배운 기초입니다. 수학에서 규칙의 일관성이 얼마나 중요한지는 더 이상의 설명이 필요 없겠죠.
● 계산기의 한계
$6\div 2(1+2)$의 값이 9가 된다고 주장하는 또 다른 근거는 계산기입니다. 많은 인터넷 계산기에서 다음과 같이 $6\div 2(1+2)=9$로 계산하고 있으므로 초등학교 때 배운 대로 연산은 왼쪽부터 순서대로 하는 것이 당연한 거 아니냐고 주장할 수 있습니다.
그렇다면 이들에게 $6\div 2\sqrt{9}$의 계산을 시켜보면 뭐라고 답을 할지 보겠습니다. 위에서 알아본 바에 의하면 이 수식은 $6\div 2\sqrt{9}=\frac{6}{2\sqrt{9}}=\frac{6}{2\times3}=1$로 계산합니다.
안타깝게도 네이버, 다음, 구글 계산기 모두 틀린 답을 냈습니다. 이 결과를 봤을 때 $6\div 2(1+2)=9$로 계산하는 다른 계산기에도 $6\div 2\sqrt{9}$를 입력하면 9로 답을 낼 거라 생각됩니다. 즉, 이러한 계산기에는 기호가 생략된 연산은 단순히 곱셈기호를 삽입한 다음 무조건 왼쪽부터 순서대로 계산하도록 설계되었을 뿐 기호 생략에 대한 별도의 알고리즘은 없는 거죠. 따라서 이미 보편화되어 있는 계산의 법칙도 제대로 적용하지 못하고 있는 겁니다.
(2024.02.20 추가)
"계산기가 틀렸을 리가 없어!"라고 혹시라도 생각하시는 분들이 계시다면 한 가지 실험을 더 해보겠습니다. 우리는 중학교 1학년 때 배운 내용 중에서 숫자가 아닌 문자를 쓰지만 변수가 아니라 고유의 값을 나타내는 상수로 사용했던 수가 하나 있어요. 바로 파이($\pi$)죠.
자료출처: 좋은책 신사고 중1 수학 교사용 지도서
교사용 지도서에도 언급되어 있듯이 이 수는 당연히 문자처럼 다룰 수 있습니다. 즉, $2\times \pi$는 곱셈 기호를 생략하여 $2\pi$로 나타낼 수 있죠. 그리고 문자가 들어간 식에서 곱셈 기호의 생략은 그 대상을 한 덩어리로 묶어서 계산하도록 합니다. 즉, $2\pi \div 2\pi$의 계산은 $(2\pi) \div (2\pi)=1$로 계산해야 하는 건 명백한 원칙이자 사실이에요.
그렇다면 $6\div 2(1+2)=9$로 계산한 네이버, 구글, 다음은 $2\pi \div 2\pi$의 계산은 어떻게 할까요?
이제 확신이 좀 드시나요? 추가로 제 핸드폰에 어플로 깔린 계산기로도 실험해 보았습니다.
이들은 모두 $2\pi \div 2\pi=2\times \pi \div 2\times \pi=\pi ^2$로 계산했습니다. 즉, 이 계산기들은 생략된 곱셈과 생략되지 않은 곱셈을 구분하지 못하고 무조건 왼쪽부터 순서대로 계산하고 있음을 알 수 있어요. $\pi$ 뿐만 아니라 고등학교 미적분 시간에 배우는 무리수인 $e$를 가지고 계산을 해도 $2e \div 2e=2\times e \div 2\times e=e^2$로 계산한다는 걸 확인할 수 있었습니다. 이들은 생략된 곱셈을 어떻게 하는지 모르고 있었던 거예요.
● 포스팅을 마치면서
수학은 참이라고 합의된 공리, 공준을 바탕으로 완전한 논리적 전개를 통해 세상의 이치를 탐구하는 과목이지만 이 또한, 인간의 손을 거쳐 연구된 것이므로 불완전할 수밖에 없습니다. 우리가 잘 아는 수학자 피타고라스가 살았던 고대시대에는 유리수가 세상의 모든 수라고 생각하였고, 이것은 종교와 결합하여 신의 섭리하고 생각했기 때문에 그 범위를 벗어나는 수를 받아들이려고 하지 않았습니다. 심지어는 피타고라스학파 내에서 무리수를 발견하고 이를 누설했던 제자를 살해하는 일도 있었죠.
로마 시대에는 숫자 0이 없었으나 로마의 상인들이 아라비아 상인들과 교역을 하면서 인도-아라비아 숫자를 도입하여 계산을 놀랍도록 편하게 할 수 있게 되었습니다. 그러나 남의 나라 방식을 도입한다는 것은 쉽게 받아들일 수 없는 일이었으며, 아무것도 없다는 뜻의 0이 왜 필요한지 이해할 수 없어서 당시의 사람들은 0이라는 기호를 악마의 술수라 하면서 거부하는 반응을 보였습니다. 당시에 0에 관해 연구하던 한 학자가 0의 우수한 점과 그것을 어떻게 사용하는지에 대한 책을 썼는데, 그 책을 본 교황이 화가 나서 “성스러운 수는 신이 창조한 것이다. 어찌 0과 같이 요망스러운 수로 성스러운 수를 더럽히려 하는가?”라고 하며 그 학자에게 다시는 책을 쓸 수 없도록 손가락을 모두 자르는 형벌을 내리기도 했습니다.
이처럼 오늘날 우리가 배우는 수학은 처음부터 완성된 지식 체계가 아니라 오랜 시간에 걸쳐 많은 역사적 시련을 거치면서 발전되어 왔고 앞으로도 여러 과정을 거쳐 발전할 것입니다. 스트로가츠 교수 관련 기사의 제목처럼 인간을 달에 보내는 시대에 $6\div 2(1+2)$와 같은 단순한 계산에 10년이 넘도록 논쟁이 이어졌다는 사실은 현대의 수학도 완전하지 못함을 보여줍니다. 이는 학교 교육과정에서 곱셈 기호의 생략이 가지는 의미를 제대로 이해시키는 것에 중점을 두지 않고 그 방법을 외우고 연습시키는 데에만 집중한 탓입니다. 이번 논쟁을 바탕으로 수학적 기호가 가지는 역할에 대해 다시 한번 돌아보고 생각해봐야 하며 새로운 정의가 필요할 때는 기존의 수학 체계를 지키고 발전시키는 방향으로 합의가 필요함을 느끼게 됩니다. 또한, 학교에서는 학회의 논문을 근거로 하여 수업 및 평가에서 표기 사용에 혼란이 일어나지 않도록 해야 하겠습니다.
※ 자료출처: 위키백과 ( https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%B1%EC%85%88 )
● (추가 글)댓글 반박 내용 정리
사람들 사이에서 관심이 많은 논쟁이다 보니 제 글에 반박을 시도하시는 분이 등장했습니다. 특히 한 사람과 70개가 넘는 댓글을주고받으면서논쟁을 했는데요. 이 분과 논쟁했던 얘기를 본문에서 추가하여정리할 테니관심이있으신 분만보세요.
사회적으로 합의가 되지 않은 식인데 이걸 마음대로 정의했다고 비판을 시작합니다. 사회적으로 합의가 명확하게 되지 않은 것은 맞죠. 합의가 되었으면 이렇게 오랫동안 논쟁거리가 되지도 않았을 겁니다.
여기까지 읽어보면 ㅇ ㅇ님의 생각은 $6\div 2(1+2)$와 같은 식은 중의적 표현이므로 마음대로 정의하면 안 된다는 생각이 강하게 자리 잡고 있음을 알 수 있어요. 제가 쓴 글이 마치 "아버지가방에들어가신다"와 같은 중의적 표현을 한 가지 뜻으로 통일해서 정의하자는 소리처럼 들렸던 거죠.
그런데 여기서부터 ㅇ ㅇ님의 황당한 논리가 시작됩니다. 수학 수식을 정의하는데 난데없이 컴퓨터 자판이 등장합니다. 처음에는 이분의 논리가 무슨 뜻인지 명확하게 이해하지 못해서 이 내용으로 오랫동안 댓글을 주고받으면서 논쟁을 했는데, ㅇ ㅇ님이 하고 싶었던 말은 키보드로 "8/2(2+2)"를 쳤을 경우 이 식이 아래의 두 식 중 어떤 식을 의미하는지 구분할 수 없다는 뜻이었습니다.
구분할 수 없는 것은 맞습니다. 애초에 키보드 자판만으로는 수식 표현에 한계가 있으니까요. 그런데 ㅇ ㅇ님은 이러한 이유로 $8\div 2(2+2)$은 정의하면 안 되고 수학에서 등장하면 안 되는 수식이라고 주장합니다. 괄호를 쳐서 명확하게 구분한 $(8\div 2)(2+2)$나 $8\div \left\{2(2+2)\right\}$만 허용되는 수식이라고 말합니다.
말도 안 되는 주장이죠. 애초에 표현에 한계를 가진 키보드로 명확하게 표현하지 못했다고 해서 수학 수식이 표현에 제약을 받아야 한다면 여기에 걸리는 수식이 한두 가지가 아닙니다. $4\div 2a$가 $4\div (2a)$와 같다는 사실은 이미 중학교 1학년 때 배운 건데 이 논리에 따른다면 이 표현 또한 쓸 수 없게 되죠. 이 식을 키보드로 치면 "4/2a"가 되는데 이렇게 키보드로 표현한 식은 아래의 두 식중 어떤 식을 의미하는지 구분할 수 없기 때문입니다.
이렇게 애매모호한 중의적 표현이 되는 이유는 다름아닌 키보드 자판의 한계 때문입니다. 애초에 수학에서는 분수를 표현할 때 빗금 기호(/)를 쓰지 않습니다. /가 양쪽의 어디까지 계산하는건지 불분명하니까요. 다만 키보드 자판만으로는 분수 표현이 어려우니까 이것이 과학에서 단위를 쓸 때나 일상에서 산수를 할 때 간단한 표기를 위해 빗금을 대신 사용하는 거죠. 이런 불완전한 기호를 가지고 와서 오류를 유도했으니 당신 주장은 엉터리라고 주장하는 게 ㅇ ㅇ님의 논리입니다.
초등학교에서 배운 연산인 $8\div 2\div 2$의 답이 $2$가 된다는 건 누구나 아는 상식이죠. 그런데 이 식을 키보드로 치면 "8/2/2"와 같이 입력해야 합니다. 그렇다면 반대로 생각해서 키보드로 친 "8/2/2"은 다음의 두 식중 무엇을 의미할까요?
역시 구분할 수 없습니다. 왼쪽 분수식을 풀면 $2$이고 오른쪽 분수식을 풀면 $8$이 되는데 "8/2/2"역시 중의적 표현을 갖게 되죠. 그렇다면 위와 같은 연분수식 표현 또한 금지해야 하며 $8\div 2\div 2$와 같은 계산식도 사용할 수 없습니다. ㅇ ㅇ님의 논리를 따른다면요.
위의 댓글을 보면 이분은 애초에 $3^{ab~}$같은 수식도 본인의 상식에서 허용되지 않은 수식이었던 거예요.
수식 $3^{ab~}$는 키보드로 "3^ab"로 쳐야 하는데 이런 식으로 친 수식은 $3^ab$를 의미할 수도 있다는 겁니다. 이렇게 모든 수학 수식을 오직 키보드로만 허용 기준을 나누고 있음을 알 수 있어요. 키보드로 쳤을 때 헷갈리지 않도록 $3^{(ab)~}$와 같이 괄호를 쳐야만 수학적으로 올바른 수식이라는 겁니다. 이미 허용되어 널리 사용되고 있는 수식까지 본인만의 기준으로 수학으로 인정할 수 없는 식이라고 주장하죠. 그럼 키보드만으론 표현이 거의 불가능한 정적분 수식이나 행렬 같은 건 아예 수학에서 빼자는 소리나 다름없습니다.
여기까지만 정리해도 ㅇ ㅇ님의 반박은 논리라고 할 수도 없을 만큼 본인만의 수학 세계에 빠져있는 것을 알 수 있는데요.
댓글 쓴 걸 보면 말만 안 통하는 게 아니라 게시글 작성자에 대한 최소한의 존중조차 없어 보입니다.
그래서 위의 댓글처럼 명확한 반례를 가져와보라고 했더니 다음과 같이 사례를 제시하기 시작합니다.
이러면서 제 정의를 따르면 곱셈에서 교환법칙을 성립하지 않는 사례를 만들었으니 필즈상을 받게 될 거라고 비아냥거립니다.
위에서 제시한 사례는 $(2+2)$를 $a$로만 바꾸면 다음과 같이 똑같은 말을 할 수 있어요.
$8/2=\frac{8}{2}$ 양변에 $a$를 곱하면 $8/2a=\frac{8}{2}a$ 왼쪽은 $\frac{4}{a}$ 오른쪽은 $4a$이므로 $\frac{1}{a}=a$ ... (임의의 모든 수 $a$는 $a^2=1$을 만족한다.)
$8/2a=a8/2$ 이게 교환법칙이 성립될 수 없다고 논문 쓰고, 수학자들에게 인정받으면 필즈상 간다..
이런 식이면 이미 보편적으로 배워서 쓰고 있는 수식 $8\div 2a$도 사용하면 안 된다는 소리가 됩니다. 기존의 수학체계까지 다 망가뜨리는 반례가 과연 반박이 될 수 있을지는 독자님들의 판단에 맡기겠습니다.
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