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수학으로 사랑 고백하는 법 (고1 수학 원의 방정식, 무리함수로 완벽한 하트 그래프 그리기)

고1 수학의 남다른 개념/함수

by holymath 2023. 9. 18. 14:30

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수학으로 사랑 고백하는 법 (고1 수학 원의 방정식, 무리함수로 완벽한 하트 모양의 그래프 그리기)

커피, 녹차의 하트 그림
우리는 일상에서 다양한 하트 모양을 관찰할 수 있습니다. (그림 출처: pixabay)

 

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 안녕하세요? holymath입니다. 최근 무리함수를 주제로 포스팅을 몇 개 올렸는데요. 오늘의 포스팅에서는 무리함수의 그래프와 이전에 배웠던 원의 방정식으로 구현할 수 있는 하트 모양의 그래프를 알아보도록 하겠습니다.

 

● 들어가기

 좋아하는 이성한테서 메신저 톡으로 하트 이모티콘을 받는 것만큼 설레는 일은 없겠죠? 서두에 첨부한 그림처럼 일상에서도 하트 모양은 어렵지 않게 만날 수 있습니다.

하트 간판

이러한 모양은 수학을 통해서도 그릴 수 있는데요. 인터넷에 검색해 보면 가장 많이 등장하는 식이 17y216|x|y+17x2=225입니다. 이 식에서 절댓값 기호를 뺀 방정식 17y216xy+17x2=225의 그래프를 그리면 다음과 같이 기울어진 타원이 나타나는데요.

17y²-16xy+17x²=225의 그래프

여기에다 x에 절댓값 기호를 씌운 방정식 17y216|x|y+17x2=225의 경우는 x 대신 x를 대입해도 방정식이 변화가 없기 때문에 그래프는 y축에 대하여 대칭을 이루게 됩니다. 따라서 1, 4사분면은 원래의 타원과 똑같이 그리고 3, 4사분면을 1, 2사분면과 대칭을 이루도록 그리면 다음과 같이 하트 모양의 그래프가 완성됩니다.

17y²-16|x|y+17x²=225의 그래프

그다음으로 자주 볼 수 있는 방정식은 극좌표를 이용한 방정식 r=1sinθ입니다. x축과 y축의 방향으로 움직인 양을 나타내는 직교좌표와는 달리 극좌표란 원점으로부터의 거리와 x축의 양의 방향과 이루는 각도로 좌표를 표시하는 방법입니다. 극좌표 개념은 고등학교 수학 교육과정에는 없고 대학에서 기초 수학 과목인 미분적분학을 배우면 하반기에 등장하는 개념입니다.

그림과 같은 점 P(x, y)로부터 원점까지의 거리를 r 직선 OPx축의 양의 방향과 이루는 각도를 θ라 하면 P의 극좌표는 (r, θ)로 나타냅니다.

극좌표 표현
그림 출처: 네이버 지식백과

이러한 원리를 바탕으로 방정식 r=1sinθ가 나타내는 그래프를 극좌표에 나타내면 다음과 같습니다.

r=1-sinθ 극좌표 그래프
그림 출처: 네이버 지식백과

여기까지가 대중적으로 알려진 하트 방정식인데 고등학생이 이해하기엔 좀 어렵죠. 그리고 하트 모양도 뭔가 좀 아쉽습니다. 지금부터는 고등학교 1학년에서 배운 개념만 가지고 보다 예쁜 하트 모양의 그래프를 그려보도록 하겠습니다.

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● 원의 방정식으로 하트의 윗부분 만들기

하트의 모양은 윗부분의 움푹 파인 부분이 포인트죠. 이 부분을 다음과 같은 함수를 통해 구현할 수 있습니다.

y=25(|x|4)2+12

다소 복잡해 보이지만 루트를 풀어서 일반형으로 나타내면 다음과 같이 우리가 아는 방정식이 등장합니다.

    y12=25(|x|4)2
    (y12)2=25(|x|4)2
    (|x|4)2+(y12)2=25

x0이면 이 방정식은 (x4)2+(y12)2=25가 되어서 중심이 (4, 12)이고 반지름의 길이가 5을 나타냅니다. 그리고 절댓값 기호에 의해 이 그래프는 y축에 대하여 대칭을 이룹니다.

단, 처음에 무리함수로 주어졌으므로 루트 안의 식이 음수가 되면 안 되죠. 따라서 정의역에 다음과 같이 제한이 걸립니다.

    25(|x|4)20
    (|x|4)225
    ||x|4|5
    5|x|45
    1|x|9
    9x9

또한, (|x|4)20이므로 0(|x|4)225로부터 다음이 성립합니다.

    25(|x|4)20
    025(|x|4)225
    025(|x|4)25
    1225(|x|4)2+1217

따라서 y=25(|x|4)2+12의 치역은 12y17입니다.

이상으로부터 함수 y=25(|x|4)2+12의 그래프는 9x9, 12y17인 영역에 그려지며, 그 그래프는 다음과 같습니다.

y=sqrt{25-(|x|-4)²}+12의 그래프

 

● 무리함수로 하트의 아랫부분 만들기

이제 다음과 같은 무리함수를 생각해 봅시다.

y=4(|x|9)+12

x0에 한해서 생각하면 y=4(x9)+12이고 이 함수의 그래프는 y=4x의 그래프를 x축의 방향으로 9만큼, y축의 방향으로 12만큼 평행이동한 것입니다. 즉, (9, 12)에서부터 그래프가 시작되어 왼쪽 아래방향으로 곡선을 그리며 뻗어나가는 그래프가 되죠.

정의역과 치역을 살펴보면 (x9)0으로부터

    x90
    x9

따라서 0x9이고

    9x90
    0(x9)9
    0(x9)3
    04(x9)12
    124(x9)0
    04(x9)+1212

이므로 0y12입니다.

특히, x=0이면 이 함수는 y=4(09)+12=4×3+12=0이 되죠. 즉, 이 함수는 다음과 같이 점 (9, 12)에서부터 그래프가 시작되어 원점에 도착하는 형태입니다.

y=-4sqrt{-(x-9)}+12의 그래프

따라서 절댓값 기호를 붙인 y=4(|x|9)+12의 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로 위의 그래프를 y축을 기준으로 대칭이동시켜서 그래프를 추가하면 다음과 같이 완성됩니다.

y=-4sqrt{-(|x|-9)}+12의 그래프

 

● 완성된 하트 그래프

이제 거의 다 왔죠? 최종적인 하트 그래프를 완성하기 위해서는 다음 두 함수의 그래프를 동시에 그리면 됩니다.

{y=25(|x|4)2+12 y=4(|x|9)+12 

만약 방정식으로 나타내고 싶으면 위와 같이 표현할 경우 연립방정식이 되면서 두 식을 동시에 만족하는 점 두 개만 찍게 되어버리죠. 조금 복잡해 보이지만 다음과 같이 써주면 하나의 방정식으로 표현이 가능합니다.

(25(|x|4)2y+12)(4(|x|9)+y12)=0

완성된 그래프는 다음과 같습니다. 마음에 드시나요? 어렵고 딱딱해 보이는 수학도 이렇게 감성 어린 표현이 가능하답니다.

완성된 하트 그래프

 

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