수학으로 사랑 고백하는 법 (고1 수학 원의 방정식, 무리함수로 완벽한 하트 그래프 그리기)

수학으로 사랑 고백하는 법 (고1 수학 원의 방정식, 무리함수로 완벽한 하트 모양의 그래프 그리기)

우리는 일상에서 다양한 하트 모양을 관찰할 수 있습니다. (그림 출처: pixabay)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 최근 무리함수를 주제로 포스팅을 몇 개 올렸는데요. 오늘의 포스팅에서는 무리함수의 그래프와 이전에 배웠던 원의 방정식으로 구현할 수 있는 하트 모양의 그래프를 알아보도록 하겠습니다.

 

● 들어가기

 좋아하는 이성한테서 메신저 톡으로 하트 이모티콘을 받는 것만큼 설레는 일은 없겠죠? 서두에 첨부한 그림처럼 일상에서도 하트 모양은 어렵지 않게 만날 수 있습니다.

이러한 모양은 수학을 통해서도 그릴 수 있는데요. 인터넷에 검색해 보면 가장 많이 등장하는 식이 $17y^2-16|x|y+17x^2=225$입니다. 이 식에서 절댓값 기호를 뺀 방정식 $17y^2-16xy+17x^2=225$의 그래프를 그리면 다음과 같이 기울어진 타원이 나타나는데요.

여기에다 $x$에 절댓값 기호를 씌운 방정식 $17y^2-16|x|y+17x^2=225$의 경우는 $x$ 대신 $-x$를 대입해도 방정식이 변화가 없기 때문에 그래프는 $y$축에 대하여 대칭을 이루게 됩니다. 따라서 1, 4사분면은 원래의 타원과 똑같이 그리고 3, 4사분면을 1, 2사분면과 대칭을 이루도록 그리면 다음과 같이 하트 모양의 그래프가 완성됩니다.

그다음으로 자주 볼 수 있는 방정식은 극좌표를 이용한 방정식 $r=1-\text{sin}\theta$입니다. $x$축과 $y$축의 방향으로 움직인 양을 나타내는 직교좌표와는 달리 극좌표란 원점으로부터의 거리와 $x$축의 양의 방향과 이루는 각도로 좌표를 표시하는 방법입니다. 극좌표 개념은 고등학교 수학 교육과정에는 없고 대학에서 기초 수학 과목인 미분적분학을 배우면 하반기에 등장하는 개념입니다.

그림과 같은 점 $\text{P}(x,y)$로부터 원점까지의 거리를 $r$ 직선 $\text{OP}$와 $x$축의 양의 방향과 이루는 각도를 $\theta$라 하면 $\text{P}$의 극좌표는 $(r,\theta )$로 나타냅니다.

그림 출처: 네이버 지식백과

이러한 원리를 바탕으로 방정식 $r=1-\text{sin}\theta$가 나타내는 그래프를 극좌표에 나타내면 다음과 같습니다.

그림 출처: 네이버 지식백과

여기까지가 대중적으로 알려진 하트 방정식인데 고등학생이 이해하기엔 좀 어렵죠. 그리고 하트 모양도 뭔가 좀 아쉽습니다. 지금부터는 고등학교 1학년에서 배운 개념만 가지고 보다 예쁜 하트 모양의 그래프를 그려보도록 하겠습니다.

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● 원의 방정식으로 하트의 윗부분 만들기

하트의 모양은 윗부분의 움푹 파인 부분이 포인트죠. 이 부분을 다음과 같은 함수를 통해 구현할 수 있습니다.

$y=\sqrt{25-(|x|-4{)}^2}+12$

다소 복잡해 보이지만 루트를 풀어서 일반형으로 나타내면 다음과 같이 우리가 아는 방정식이 등장합니다.

    $y-12=\sqrt{25-(|x|-4{)}^2}$
    $(y-12{)}^2=25-(|x|-4{)}^2$
    $(|x|-4{)}^2+(y-12{)}^2=25$

$x\ge 0$이면 이 방정식은 $(x-4{)}^2+(y-12{)}^2=25$가 되어서 중심이 $(4,12)$이고 반지름의 길이가 $5$인 원을 나타냅니다. 그리고 절댓값 기호에 의해 이 그래프는 $y$축에 대하여 대칭을 이룹니다.

단, 처음에 무리함수로 주어졌으므로 루트 안의 식이 음수가 되면 안 되죠. 따라서 정의역에 다음과 같이 제한이 걸립니다.

    $25-(|x|-4{)}^2\ge 0$
    $(|x|-4{)}^2\le 25$
    $||x|-4|\le 5$
    $-5\le |x|-4\le 5$
    $-1\le |x|\le 9$
    $-9\le x\le 9$

또한, $(|x|-4{)}^2\ge 0$이므로 $0\le (|x|-4{)}^2\le 25$로부터 다음이 성립합니다.

    $-25\le -(|x|-4{)}^2\le 0$
    $0\le 25-(|x|-4{)}^2\le 25$
    $0\le \sqrt{25-(|x|-4{)}^2}\le 5$
    $12\le \sqrt{25-(|x|-4{)}^2}+12\le 17$

따라서 $y=\sqrt{25-(|x|-4{)}^2}+12$의 치역은 $12\le y\le 17$입니다.

이상으로부터 함수 $y=\sqrt{25-(|x|-4{)}^2}+12$의 그래프는 $-9\le x\le 9$, $12\le y\le 17$인 영역에 그려지며, 그 그래프는 다음과 같습니다.

 

● 무리함수로 하트의 아랫부분 만들기

이제 다음과 같은 무리함수를 생각해 봅시다.

$y=-4\sqrt{-(|x|-9)}+12$

$x\ge 0$에 한해서 생각하면 $y=-4\sqrt{-(x-9)}+12$이고 이 함수의 그래프는 $y=-4\sqrt{-x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $9$만큼, $y$축의 방향으로 $12$만큼 평행이동한 것입니다. 즉, 점 $(9,12)$에서부터 그래프가 시작되어 왼쪽 아래방향으로 곡선을 그리며 뻗어나가는 그래프가 되죠.

정의역과 치역을 살펴보면 $-(x-9)\ge 0$으로부터

    $x-9\le 0$
    $x\le 9$

따라서 $0\le x\le 9$이고

    $-9\le x-9\le 0$
    $0\le -(x-9)\le 9$
    $0\le \sqrt{-(x-9)}\le 3$
    $0\le 4\sqrt{-(x-9)}\le 12$
    $-12\le -4\sqrt{-(x-9)}\le 0$
    $0\le -4\sqrt{-(x-9)}+12\le 12$

이므로 $0\le y\le 12$입니다.

특히, $x=0$이면 이 함수는 $y=-4\sqrt{-(0-9)}+12=-4\times 3+12=0$이 되죠. 즉, 이 함수는 다음과 같이 점 $(9,12)$에서부터 그래프가 시작되어 원점에 도착하는 형태입니다.

따라서 절댓값 기호를 붙인 $y=-4\sqrt{-(|x|-9)}+12$의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이므로 위의 그래프를 $y$축을 기준으로 대칭이동시켜서 그래프를 추가하면 다음과 같이 완성됩니다.

 

● 완성된 하트 그래프

이제 거의 다 왔죠? 최종적인 하트 그래프를 완성하기 위해서는 다음 두 함수의 그래프를 동시에 그리면 됩니다.

$\{\begin{array}{ll}y=\sqrt{25-(|x|-4{)}^2}+12& \\ y=-4\sqrt{-(|x|-9)}+12& \end{array}$

만약 방정식으로 나타내고 싶으면 위와 같이 표현할 경우 연립방정식이 되면서 두 식을 동시에 만족하는 점 두 개만 찍게 되어버리죠. 조금 복잡해 보이지만 다음과 같이 써주면 하나의 방정식으로 표현이 가능합니다.

$(\sqrt{25-(|x|-4{)}^2}-y+12)(4\sqrt{-(|x|-9)}+y-12)=0$

완성된 그래프는 다음과 같습니다. 마음에 드시나요? 어렵고 딱딱해 보이는 수학도 이렇게 감성 어린 표현이 가능하답니다.

 

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