성인 99%가 틀리는 초등학교 수학 고난도 문제 (초등 수학 도형의 넓이 문제)

성인 99%가 틀리는 초등학교 수학 고난도 문제 (초등 수학 도형의 넓이 문제)

 

 안녕하세요? holymath입니다. SNS를 보다 보면 종종 어려운 초등학교 수학 문제가 등장하면서 화재가 되는 경우가 많습니다. 오늘 소개할 문제는 도형의 넓이를 구하는 초등학교 문제입니다.

 

 

● 문제 소개

 해당 문제는 구체적인 설명 하나 없이 위의 그림이 전부예요. 사각형이 보이고 각종 기호로 표시해 놓은 것을 보아 이 문제를 명확한 설명으로 대체하면 다음과 같습니다.

그림과 같이 정사각형의 내부에 한 점을 잡고 각 변의 중점과 연결하여 4개의 선분을 그어 정사각형을 4개의 사각형 (가), (나), (다), (라)로 나누었다. (나), (다), (라)의 넓이가 각각 32cm², 20cm², 16cm²일 때 (가)의 넓이를 구하시오.

그림 자체는 간단해 보이지만 막상 넓이를 구하라고 하니 그리 쉬워 보이지 않는데요. 고등학교 수학까지 다 공부해 본 성인에게 이 문제를 5분 안에 풀라고 하면 풀 수 있는 사람이 그리 많지는 않을 텐데 이 문제는 다음 유튜브 영상에서 등장하여 화재가 되었습니다.

 

 

● 문제 해설 (1)

서 만나는 관 어려워 보이는 도형 문제에서 정답에 접근할 수 있는 핵심 아이디어는 보통 보조선에서 나옵니다. 이 문제도 보조선을 어떻게 긋냐에 따라 난이도가 달라질 수 있어요.

첫 번째로는 보조선을 다음과 같이 긋는 방법입니다.

이렇게 하면 경계선에 의해 주어진 정사각형이 총 8개로 분할되는데요. 여기서 맨 바깥쪽의 직각이등변 삼각형 4개는 모두 합동이므로 넓이를 E로 통일시키고 안쪽의 삼각형 4개의 넓이를 각각 A, B, C, D라고 하면 다음의 수식을 유도할 수 있어요.

$A+C=B+D$

그 이유는 다음과 같이 마주 보는 삼각형끼리의 높이의 합이 하늘색 정사각형의 한 변의 길이와 같기 때문입니다.

즉, 위와 같이 내부의 점을 지나는 초록색 점선을 그으면 각 선분의 길이 $a,~b,~c,~d$는 각 삼각형의 높이가 되고 다음 수식이 성립합니다.

$a+c=b+d$ $=l$  (하늘색 정사각형의 한 변의 길이)

따라서 $a+c=b+d$의 양변에 $l$을 곱하고 2로 나누면 삼각형들끼리의 넓이의 관계가 유도됩니다.

$a\times l+c\times l=b\times l+d\times l$
$\frac{1}{2} \times a\times l+ \frac{1}{2} \times c\times l= \frac{1}{2} \times b\times l+ \frac{1}{2} \times d\times l$
$A+C=B+D$

이제 $A+C=B+D$의 양변에 E를 2번씩 더하면 다음과 같은 관계가 유도됩니다.

$(A+E)+(C+E)=(B+E)+(D+E)$
(가)$+$(다)$=$(나)$+$(라)
(가)$+20=32+16$

따라서 구하는 (가)의 넓이는 28cm²가 됩니다.

 

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● 문제 해설 (2)

다음과 같이 사각형의 내부의 점에서 사각형의 각 꼭짓점까지 연결하여 보조선을 그을 수 있어요.

이렇게 하면 삼각형에서 밑변의 중점과 마주 보는 꼭짓점을 선분으로 연결하면 삼각형의 넓이를 이등분하게 되는 성질을 이용해서 나누어진 8개의 삼각형의 넓이를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

이렇게 하면 처음의 방법보다 더 간단하게 관계식을 유도할 수 있어요.

(가)$+$(다)$=($ A $+$ B $)+($ C $+$ D $)$
(나)$+$(라)$=($ B $+$ C $)+($ D $+$ A $)$

따라서 (가)$+$(다)$=$(나)$+$(라)이므로 마찬가지로 (가)$+20=32+16$로부터 (가)$=28$임을 구할 수 있습니다.

 

초등학교 문제지만 만만치 않았죠. 도형 문제는 어느 학년이든 어렵게 출제 될 수 있는 단원이므로 다양한 문제를 통해 원리를 적용하는 연습이 필요합니다.