2023학년도 수능 9월 모의고사 수학 영역 미적분 29, 30번 해설 (2022.08.31 시행)

2023학년도 수능 9월 모의고사 수학 영역 미적분 29, 30번 해설 (2022.08.31 모의평가 시행)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 오늘 2023학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가가 있었는데요. 예비 수험생 여러분 오늘 하루 수고 많으셨습니다. 저는 이 중에서 미적분 29번 30번 문제를 해설해보겠습니다.

● 미적분 29번 문제 해설

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문제에 사용된 변수가 $x$에다가 $s$도 있고 $t$도 있어서 어질어질할 수도 있을 텐데요. 점 $(t,0)$은 $x$축 위의 점이므로 이 점에서 그래프 위의 점 $(x,f(x))$까지의 거리의 최소를 설정하고 있습니다.

거리의 최솟값은 어떻게 구할까요? 이차함수나 원을 가지고도 많이 해봤을 텐데 여기에서 사용되는 개념이 바로 접선이죠. 다음 그림과 같이 점 $(x,f(x))$에서의 접선이 두 점 $(x,f(x))$와 $(t,0)$을 연결한 선분과 수직이 될 때, 그 거리가 최소가 됩니다. 따라서 이 문제는 점 $(s,f(s))$에서의 법선이 $x$축과 만나는 점을 $(t,0)$로 놓고 접근을 하면 됩니다.

이제 $s$와 $t$의 관계를 구하기 위해 점 $(s,e^s+s)$에서의 법선을 구하기 위해 $f(x)$를 미분하면

$f^{\prime }(x)=e^x+1$

따라서 $f^{\prime }(s)=e^s+1$이므로 법선의 기울기는 이 값과 곱해서 -1이 되어야 하므로 법선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

이 직선이 점 $(t,0)$를 지나야 하므로

이렇게 해서 $s$와 $t$의 관계식이 유도되었습니다. 이제 $f(s)=e^s+s$를 $g(t)$로 놓고 $g(t)$의 역함수를 $h(t)$라 할 때, $h^{\prime }(1)$의 값을 구하라고 했죠. 문제에서 요구하는 것을 파악하기 위해 역함수의 미분에 의해

$h^{\prime }(1)=\frac{1}{g^{\prime }(h(1))}$

으로 나타냅니다. $h(1)=a$로 놓으면 $g(a)=1$이죠. 이때 $g(t)$는 $f(s)$의 값을 의미하므로 이 값이 1이 된다는 것은 점 $(s,f(s))$가 $y=f(x)$의 그래프와 $y$축과의 교점인 $(0,1)$에 위치한다는 겁니다. 따라서 $s=0$이고 $(0,1)$에서의 법선의 방정식은 $y=-\frac{1}{2}x+1$이므로 $t=a=2$입니다. 따라서 $h(1)=2$이므로 우리가 원하는 $h^{\prime }(1)$의 값은

$h^{\prime }(1)=\frac{1}{g^{\prime }(2)}$

으로 정리되죠. 결국, $g^{\prime }(2)$의 값을 구하면 그 역수가 바로 답이 됩니다.

이제 위에서 구한 $(e^s+s)(e^s+1)=t-s$를 $t$에 대하여 미분하면

$(e^s\times s^{\prime }+s^{\prime })(e^s+1)+(e^s+s)(e^s\times s^{\prime })=1-s^{\prime }$
$s^{\prime }(e^s+1{)}^2+(e^s+s)(e^s\times s^{\prime })=1-s^{\prime }$

여기서 $t=2$일 때, $s=0$이므로

$s^{\prime }(e^0+1{)}^2+(e^0+0)(e^0\times s^{\prime })=1-s^{\prime }$
$4s^{\prime }+s^{\prime }=1-s^{\prime }$,   $6s^{\prime }=1$,   $s^{\prime }=\frac{1}{6}$

$g(t)=e^s+s$에서 $g^{\prime }(t)=e^s\times s^{\prime }+s^{\prime }=s^{\prime }(e^s+1)$이고 여기에 $s=0$, $s^{\prime }=\frac{1}{6}$을 대입하면

$g^{\prime }(2)=\frac{1}{6}(e^0+1)=\frac{1}{3}$

따라서 구하는 답은 $\frac{1}{g^{\prime }(2)}=$3입니다.

 

● 미적분 30번 문제 해설

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미적분 문제에 사차함수가 등장했네요. 여기에서 뭔가 미적분에서 배운 내용을 써먹을 순간이 있겠죠?

일단 (가) 조건은 대충 읽고 넘어갑니다. 이 조건으론 아직 어떤 함수인지 모르니까요.

(나) 조건과 최종 발문을 통해 문제의 의도를 파악하고 다음과 같이 접근한다면 문제 풀이의 절반까지 진행할 수 있습니다.

이제 $f(x)-f(0)=t$로 치환하면 $f^{\prime }(x)dx=dt$이고
    $x=1\Rightarrow t=f(1)-f(0)$
    $x=2\Rightarrow t=f(2)-f(0)$
이므로 치환한 결과는 다음과 같습니다.

결국 우리가 원하는 답은 $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$ 이 세 가지 값을 구하면 되는 문제입니다.

그럼 이제 사차함수 $f(x)$가 어떻게 생겨먹은 녀석인지 남아있는 단서들을 모아보겠습니다.

문제를 차근차근 다시 읽어보면 $g(x)$가 구간 $(0,\mathrm{\infty })$에서 $g(x)\ge 0$이라는 말이 있네요. 이 말은 왼쪽으로 3만큼 평행이동시킨 다음 함수는 $x>-3$일 때, 항상 0 이상이 된다는 얘기죠.

그런데 분모는 완전제곱식으로 되어 있으므로 결국 $x>-3$일 때, $f^{\prime }(x)\ge 0$임을 알 수 있습니다. 즉, 이 사차함수는 $x>-3$일 때, 계속 증가하는 함수가 되겠군요.

또한 이제 (가) 조건을 확인해보면 $f(-3)$이 최솟값인 것도 알 수 있습니다.

이제 사차함수가 어떤 모양의 그래프를 나타낼지 윤곽이 그려지시나요? 아직은 정확하게 알 수는 없어요. $x=-3$에서 최소이고 $x>-3$부터 증가하는 사차함수는 여러 종류가 있으니까요.

이제 최종적인 단서를 하나 더 찾을 건데 마지막 단서는 바로 (나)에 숨어 있습니다. 이 조건은 구하고자 하는 적분값을 $f(x)$의 식으로 바꿔주는 역할만 할 뿐만 아니라 식 $g(x+3){\{f(x)-f(0)\}}^2=f^{\prime }(x)$에서 $x=0$을 대입하면 좌변이 0이 되므로 $f^{\prime }(0)=0$라는 사실까지 찾아낼 수 있습니다.

이제 $f(x)$의 식을 세우기 위해 먼저 도함수 $f^{\prime }(x)$에서 시작해 봅시다.

$f(x)$의 최고차 항의 계수가 1이므로 $f^{\prime }(x)$의 최고차항의 계수는 4입니다. 그리고 $f(-3)$이 최솟값이므로 극솟값이고 따라서 $f^{\prime }(-3)=0$이죠. 또한, $f^{\prime }(0)=0$이므로 나머지정리에 의해 $f^{\prime }(x)$는 $x$와 $x+3$을 인수로 가집니다.

따라서 $f^{\prime }(x)=4x(x+3)(x+k)$로 놓고 상수 $k$만 찾아내면 되죠. 이제 주목할 점은 인수 $x$가 일차식으로 남게 된다면 $f^{\prime }(x)$는 $x=0$을 기준으로 부호가 바뀔 수밖에 없습니다. 그럼 $x>-3$일 때, $f^{\prime }(x)\ge 0$임에 모순이 되겠죠. 그렇다면 $k$가 얼마여야 하는지 아시겠나요? 바로 0이 되어서 $x^2$으로 만들어줘야 $f^{\prime }(x)$가 $x=0$에서 부호가 바뀌지 않고 계속 0 이상이 되도록 할 수 있는 겁니다.

따라서 $f^{\prime }(x)=4x^2(x+3)=4x^3+12x^2$이므로 $f(x)=x^4+4x^3+C$ ($C$는 적분상수)입니다. 이제

$f(0)=C$, $f(1)=5+C$, $f(2)=48+C$

이므로 $f(1)-f(0)=5$, $f(2)-f(0)=48$이죠.

따라서 구하는 답은

$\frac{1}{f(1)-f(0)}-\frac{1}{f(2)-f(0)}$
$=\frac{1}{5}-\frac{1}{48}=\frac{43}{240}$

따라서 $p+q=240+43=$283입니다.

 

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