아브라카다브라 단어를 만드는 방법의 수에는 덧셈 법칙이 사용됩니다. (출처: 미래엔 고1 수학)
안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다.수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.
이전 포스팅에서 경우의 수를 구하는데 가장 기본적인 합의 법칙에 대해 공부한 적이 있었어요. 합의 법칙은 경우의 수를 구할 때 하나하나 세는 것을 제외하면 가장 원초적인 방법이지만 이 원리가 매우 유용하게 활용될 수 있는 유형이 바로 경로의 개수를 세는 문제입니다. 오늘의 포스팅에서는 합의 법칙을 활용하여 최단거리 경로의 개수를 구하는 문제를 푸는 방법에 대해 알아보겠습니다.
● 덧셈을 하는 원리
서두에 제시한 대표 이미지는 교과서의 별도의 코너에 있는 문제입니다. 문제의 소재가 된 아브라카다브라 단어를 완성하는 방법은 아래 그림의 점 A에서 맨 아래의 점까지 선분을 따라 최단거리로 도달하는 방법의 수를 구하는 것과 같은 원리죠. 그림에서 각 점에 표시된 수는 그 점까지 도달하기 위한 방법의 수를 나타냅니다. 그림에서 위쪽 외곽의 점들에 모두 1이 표시된 이유는 점 A에서 각 점까지 최단거리로 도착하는 방법이 그냥 직선으로 쭈욱 가는 것 말고는 없으니까 그 방법이 오직 한 가지뿐이기 때문입니다. 그리고 위쪽의 두 수를 더하여 아래로 내려가는 방법의 수를 구하는 방식을 이용하고 있습니다.
좀 더 자세한 설명을 위해 예를 들어 그림에서 빨간색 점까지 도달하는 방법의 수를 생각해 봅시다. 방법의 수는 해당 점의 바로 위에 있는 두 점에 찍힌 수를 더해서 구해집니다.
이렇게 두 수를 더하는 이유는 간단해요. 최단 경로로 움직여서 빨간 점에 도달하려면 반드시 바로 위에 있는 두 점 중 하나를 거쳐야 하기 때문입니다. 따라서 빨간 점까지 도달하는 15가지 방법 중에는 위의 두 점 중 왼쪽 점을 거쳐서 도달하는 방법이 10가지이고 오른쪽 점을 거쳐서 도달하는 방법이 5가지임을 의미하는 거죠.이러한 원리를 모든 점에 적용하여 원하는 점에서의 경우의 수를 구하는 겁니다.
첫 시작은 1부터 출발합니다. 우선 점 A로부터 최단거리로 가는 방법이 하나뿐인 점에다 모두 1을 표시합니다. 직사각형에서 왼쪽과 아래쪽 변 부분이 여기에 해당되죠.
그런 다음 A와 가까운 곳부터 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구합니다. 여기에서 기본으로 깔아야 할 중요한 전제는 최단거리로 가기 위해서는 반드시 오른쪽 또는 위쪽으로만 움직여야 한다는 거예요. 따라서 그림에서 보라색 점에 도착하려면 반드시 왼쪽 점이나 아래쪽 점 중 하나를 거쳐야만 합니다. 둘 다 그 방법이 1가지이므로 도착하는 방법은 $1+1=2$입니다.
그다음 아래의 그림처럼 한 칸 오른쪽으로 가서 경우의 수를 구하려면 마찬가지로 왼쪽 점을 거치는 경우의 수와 아래쪽 점을 거치는 경우의 수를 더하면 됩니다. 단, 왼쪽 점은 그 방법이 2가지였으므로 $2+1=3$과 같이 계산되죠.
이런 식으로 점 A와 가까운 곳부터 차례대로 구하면 다음과 같습니다.
연습을 위해 모든 점에 표시를 해봤지만 점 B까지의 최단거리로 가는 방법을 구하려면 사실 B보다 오른쪽에 위치한 점들은 구할 필요가 없었죠. B보다 오른쪽으로 가는 순간 B에 도달하려면 다시 왼쪽으로 움직여야 되는데 그렇게 되면 최단거리가 아니게 되니까요.
이상으로부터 구하는 방법의 수는 $35$입니다.
● 합의 법칙의 유용성
이렇게 하나하나 더해서 계산하면 경로가 많아질수록 그 계산이 번거로워지고 실수할 가능성도 커지는 단점이 있습니다. 그래서 위의 문제처럼 도형이 단순하게 주어진 경우는 합의 법칙보다 더 유용한 원리가 뒤에 등장합니다.
그러나 문제가 예제 1번처럼 단순하게만 나오지는 않죠. 합의 법칙이 유용한 이유는 이러한 경로 문제가 아무리 다양한 상황으로 주어져도 오직 덧셈만을 이용해서 그 방법의 수를 무난히 구해낼 수 있기 때문이에요.
이제 어렵게 느낄 수 있는 부분이 아래 그림의 색칠한 부분이 될 텐데요. 경로 세는 문제에서 핵심은 합류하는 길이 나타나면 합산을 하고 그렇지 않으면 기존의 경우의 수를 그대로 유지하면 되는 거예요. 이 원리를 적용하면 그림에서 보라색으로 색칠한 두 점까지 최단거리로 가는 방법은 이 점에 도달하기 직전인 초록색 점까지 도착하는 방법의 수인 3이 그대로 유지되는 겁니다.
왜 그럴까요? 위의 그림의 보라색 점까지 최단거리로 가려면초록색 점을 지나는 방법 외에는 없기 때문이에요. 다른 점을 통해서 도달하는 경로는 최단경로가 아니니까요. 즉, 다른 경로를 통해 합류할 일이 없기 때문에 초록색 점에 도달하기 위한 3가지 방법이 그대로 보라색 점까지 도착하는 방법이 되는 겁니다.
이제 다음 단계로 아래 그림에서 보라색 점들까지 도달하는 방법은 왼쪽길에서 오는 방법과 아래쪽 길에서 오는 방법을 더해서 계산해 줍니다.
일단 최단거리로 이동하려면 위쪽이나 오른쪽으로 움직일 수밖에 없죠. 따라서 예제 2번과 마찬가지로 이동할 때 왼쪽이나 아래쪽에서 합류하는 길이 있으면 더해주고 합류하는 길이 없으면 이전의 방법 수를 그대로 유지하면 됩니다. 아래 그림에서 빨간색으로 표시한 수가 합류하는 길이 없어서 아래 또는 왼쪽 점까지 도달하는 방법의 수가 그대로 반영된 것이고 나머지는 왼쪽 점과 아래쪽 점의 방법 수를 더하여 구한 것입니다.
주어진 그림에서 경로 중간에 여러 점들을 찍어서 각 점까지 이동하는 방법 수를 각각 구한 다음 합산하는 방법을 생각할 수도 있지만 위에서 이용했던 것과 동일한 방법을 쓰려면 문제의 그림 자체를 필요 없는 부분을 지워서 아래처럼 바꾸는 걸 추천합니다. 이렇게 하면 실수 없이 확실하게 경로를 셀 수 있겠죠.
이제 앞에서 했던 대로 각 교점마다 방법의 수를 구해줍니다. 마찬가지로 아래 그림에서 빨간색으로 표시한 수는 합류하는 길이 없어서 직전의 점까지 도달하는 방법의 수가 그대로 반영된 것이고 나머지는 왼쪽 점과 위쪽 점의 방법 수를 더하여 구한 것입니다.
따라서구하는 경로의 개수는$33$입니다.
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