지불 방법의 수, 지불 금액의 수를 구하는 방법의 자세한 이해 (고1 수학, 경우의 수, 곱의 법칙, 화폐 문제)

지불 방법의 수, 지불 금액의 수를 구하는 방법의 자세한 이해 (고1 수학, 경우의 수, 곱의 법칙, 화폐 문제)

 

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 경우의 수 문제에는 굉장히 다양한 유형이 있습니다. 특히, 곱의 법칙을 이용하는 경우가 많은데 이번 포스팅에서는 문제집, 참고서 등에 필수로 등장하는 유형으로 다양한 단위의 화폐가 주어졌을 경우 화폐를 지불하는 방법과 금액을 지불하는 방법에 대해 공부해 보도록 하겠습니다.

 

● 화폐 지불 방법의 수

화폐를 지불하는 간단한 경우의 수는 다음과 같이 일부 교과서에도 연습문제로 다룹니다.

자료 출처: 좋은책 신사고 고1 수학

문제를 풀어보면 100원짜리는 5개가 있으므로 안 사용하는 경우까지 합하면 0원부터 100원, 200원 300원, 400원, 500원의 지불 금액이 있어요.

그리고 1000원짜리는 4개가 있으므로 안 사용하는 경우까지 합하면 0원 1000원, 2000원 3000원, 4000원의 지불 금액이 있죠.

즉, 두 종류의 화폐를 얼마가 사용하느냐에 따라 다음과 같이 지불 가능한 금액이 결정됩니다.

100원 개수	0개	1개	2개	3개	4개	5개
1000원 개수
0개	0원	100원	200원	300원	400원	500원
1개	1000원	1100원	1200원	1300원	1400원	1500원
2개	2000원	2100원	2200원	2300원	2400원	2500원
3개	3000원	3100원	3200원	3300원	3400원	3500원
4개	4000원	4100원	4200원	4300원	4400원	4500원

위의 표에서 겹치는 금액은 없으므로 나온 가짓수가 바로 구하는 경우의 수가 됩니다. 그런데 0원을 지불하는 경우는 제외한다고 했으므로 구하는 방법의 수는 $6\times 5-1=$ $29$가 됩니다.

이 문제에서 지불하는 금액의 수는 각 단위의 화폐를 몇 개를 사용했으냐에 따라 달라졌죠. 즉, 일반적으로 지불하는 방법의 수는 각 화폐의 개수에다가 1을 더한 다음 이들을 모두 곱하면 됩니다. 그리고 일반적으로 0원을 지불하는 것은 지불했다고 보지 않으므로 1을 빼줌으로써 제외합니다.

화폐를 (종류가 서로 다르도록)지불하는 방법의 수

$a_1$원 짜리 화폐가 $n_1$개, $a_2$원 짜리 화폐가 $n_2$개, $\cdots $, $a_m$원 짜리 화폐가 $n_m$개 있을 때 이들 중 모두 또는 일부를 사용하여 화폐의 종류를 서로 다르게 지불하는 방법의 수는 $(n_1+1)\times (n_2+1)\times \cdots \times (n_m+1)-1$

이 원리는 어떤 자연수 $a$가 $a=p_1^{~n_1}p_2^{~n_2}p_3^{~n_3}$과 같이 소인수분해 되었을 때, 이 수의 약수의 개수는 $(n_1+1)\times (n_2+1)\times (n_3+1)$을 계산하여 구하는 것과 같은 원리예요. 각 소수 $p_1$, $p_2$, $p_3$을 얼마나 곱했으냐에 따라 서로 다른 약수가 만들어지니까요. 단, 약수에는 어떠한 소수도 곱하지 않은 $1$도 포함되기 때문에 이 경우에는 $1$을 빼지 않죠.

 

● 금액 지불 방법의 수

많은 학생들이 어려워하는 부분이 금액 지불 방법의 수인데요. 기준 자체를 금액으로 두면 화폐를 지불하는 방법이 달라도 금액이 겹치는 경우가 발생할 수 있기 때문이에요. 위의 교과서 문제처럼 각 화폐의 사용 개수에 따라 표를 만들어도 금액이 겹치지 않는다면 그 방법의 수는 화폐를 다르게 지불하는 경우와 똑같습니다. 그러나 위의 교과서 문제를 다음과 같이 500원짜리 화폐를 추가하여 물어보면 어떻게 될까요?

 

100원짜리 동전 3개, 500원짜리 동전 2개, 1000원짜리 지폐 4개가 있다. 이들 중 일부 또는 전부를 사용하여 지불할 수 있는 금액의 수를 구하시오. (단, 0원을 지불하는 것은 제외한다.)

 

단순히 화폐를 서로 다르게 지불하는 방법은 $(3+1)\times (2+1)\times (4+1)$로 구할 수 있어요. 단, 이 경우는 예를 들어 1200원을 지불한다고 했을 때, 100원짜리 동전 2개에 1000원짜리 지폐 1장을 지불하는 방법이 있지만 100원짜리 동전 2개에 500원짜리 동전 2개를 지불하는 방법도 있죠. 이렇게 겹치는 경우가 발생하므로 $(3+1)\times (2+1)\times (4+1)=60$ 개의 방법 안에는 금액이 겹치는 경우가 많이 들어있습니다. 즉, 실제 금액의 수보다 더 많이 계산되는 거죠.

그럼 왜 겹치게 되느냐? 500원짜리 2개가 1000원을 만들면서 1000원짜리로 낼 수 있는 금액의 범위를 침범했기 때문입니다. 만약에 500원짜리 동전이 하나밖에 없었다면 다음과 같이 500원짜리와 1000원짜리를 사용하는 개수에 따른 금액은 서로 겹칠 일이 없습니다.

1000원 개수	0개	1개	2개	3개	4개
500원 개수
0개	0원	1000원	2000원	3000원	4000원
1개	500원	1500원	2500원	3500원	4500원

그런데 500원짜리가 2개나 그 이상이 된다면 지불하는 금액은 다음과 같이 겹치는 경우가 발생하죠.

1000원 개수	0개	1개	2개	3개	4개
500원 개수
0개	0원	1000원	2000원	3000원	4000원
1개	500원	1500원	2500원	3500원	4500원
2개	1000원	2000원	3000원	4000원	5000원
3개	1500원	2500원	3500원	4500원	5500원

여기서 형성된 금액을 살펴보면 금액은 최소 0원부터 최대 5000원이고 그 사이의 금액은 모두 500원 단위로 떨어집니다. 즉, 500원짜리와 1000원짜리로 만들 수 있는 금액은 0원, 500원, 1000원, $\cdots$, 4500원, 5000원으로 총 11가지 방법이 만들어져요. 그리고 이 금액과 100원짜리 3개를 사용하여 만들 수 있는 금액을 표로 만들면 다음과 같습니다.

100원 개수	0개	1개	2개	3개
500원과 1000원 짜리로 만들 수 있는 금액
0원	0원	100원	200원	300원
500원	500원	600원	700원	800원
1000원	1000원	1100원	1200원	1300원
1500원	1500원	1600원	1700원	1800원
2000원	2000원	2100원	2200원	2300원
2500원	2500원	2600원	2700원	2800원
3000원	3000원	3100원	3200원	3300원
3500원	3500원	3600원	3700원	3800원
4000원	4000원	4100원	4200원	4300원
4500원	4500원	4600원	4700원	4800원
5000원	5000원	5100원	5200원	5300원

보다시피 여기서는 겹치는 금액이 없습니다. 100원짜리 3개로는 500 단위의 영역을 침범하지 않기 때문이죠.
따라서 답은 $11\times 4-1=$ $43$가지가 됩니다.

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이 문제에서는 500원짜리 2개가 1000원의 영역을 침범했기 때문에 500원짜리와 1000원짜리를 같이 통틀어서 나올 수 있는 금액의 종류를 살펴봤어요. 그리고 여기에서 이용되는 원리가 바로 '환전'입니다. 1000원짜리 4개를 500원짜리 8개로 환전해서 500원짜리 총 10개로 생각하여 문제를 푸는 거예요. 그래서 본 문제 자체를 100원짜리 3개와 500원짜리 10개로 만들 수 있는 금액으로 생각해서 $4\times 11-1$의 수식을 만들 수 있게 되는 겁니다.

이 원리는 다음과 같이 정리할 수 있어요.

서로 다른 금액을 지불하는 방법의 수

$a_1$원 짜리 화폐가 $n_1$개, $a_2$원 짜리 화폐가 $n_2$개, $\cdots $, $a_m$원 짜리 화폐가 $n_m$개 있을 때 이들 중 모두 또는 일부를 사용하여 서로 다른 금액을 지불하는 방법의 수는 1. 작은 단위의 화폐를 다 합쳐도 큰 단위의 금액보다 작은 경우  $(n_1+1)\times (n_2+1)\times \cdots \times (n_m+1)-1$ 2. 작은 단위의 화폐를 합쳤을 때 큰 단위 화폐의 금액이나 그 이상이 되면, 큰 단위의 화폐를 작은 단위의 화폐로 환전한 다음 1의 과정을 따른다.

 

● 연습 문제 풀이

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100원짜리 동전 11개와 1000원짜리 지폐 2장이 있을 때 다음을 구하시오. (단, 0원을 지불하는 경우는 없다.)

(1) 서로 다른 화폐를 지불하는 방법의 수
(2) 서로 다른 금액을 지불하는 방법의 수

(1) 공식에 따라 다음과 같이 계산합니다.

  $(11+1)\times (2+1)-1=$ $35$

(2) 100원짜리의 개수가 10개를 넘기 때문에 1000원을 만들 수 있죠. 따라서 두 화폐를 통틀어서 만들 수 있는 금액을 생각해야 합니다. 최소 금액은 100원이고 최대 금액은 두 화폐를 모두 사용한 3100원입니다. 그럼 그 사이에 존재하는 금액들은 얼마 단위일까요? 100원짜리 동전으로 100원대부터 900원대까지 모두 만들 수 있고, 1000원을 넘어가는 금액은 1000원짜리 지폐를 추가하여 만들 수 있죠. 즉, 100 단위 간격으로 모든 금액이 가능한 겁니다. 따라서 위에서 정리한 방법대로 1000원짜리를 100원으로 환전해서 생각합니다. 즉, 100원짜리 31개로 만들 수 있는 금액을 생각하면 되는 거죠.
따라서 답은 $31$입니다.

(1)번의 답은 35인데 (2) 번의 답은 31이라는 건 4군데에서 금액이 겹친다는 거겠죠. 확인해 보면 그 금액은 1000원, 1100원, 2000원 2100원임을 알 수 있어요. 이 4개의 금액은 1000원을 만들 때 1000원짜리 지폐 하나를 내는 경우와 100원짜리 동전을 10개 내는 경우로 나눌 수 있습니다.

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100원짜리 동전 7개와 500원짜리 동전 1개, 1000원짜리 지폐 2장이 있을 때, 이들 중 일부 또는 전부를 사용하여 지불할 수 있는 서로 다른 금액의 개수를 구하시오. (단, 0원을 지불하는 경우는 없다.)

일단 500원짜리 동전으로는 1000원을 만들 수 없으므로 이 두 화폐만 생각하면 금액이 겹칠 일은 없습니다. 그런데 100원짜리 동전이 7개라 이 동전을 합하면 500원을 만들 수가 있어요. 따라서 위에서 정리했던 원리대로 500원짜리 동전 1개를 100원까지 동전 5개로 환전해서 생각합니다.

그런데 이렇게 환전하면 100원까지 동전은 총 12개가 됩니다. 그럼 이 동전으로 1000원을 또 만들 수가 있죠. 따라서 1000원 역시 100원짜리 동전으로 환전하여 100원짜리 20개로 만들어 줍니다.

따라서 이 문제는 100원짜리 동전 32개로 만들 수 있는 금액으로 생각하여 그 답은 $32$가 됩니다.

이 원리가 어렵다면 역시 세 종류의 화폐를 통틀어서 잘 생각해 봅시다. 이들로 만들 수 있는 최소 금액은 $100$원이고 최대 금액은 $100\times 7+500\times 1+1000\times 2=3200$원입니다. 그리고 그 사이의 금액은 얼마까지 가능할까요? 100원짜리 동전과 500원짜리 동전으로 100원부터 900원까지 모두 만들 수 있고, 1000원이 넘는 금액은 1000원짜리 지폐를 추가하여 만들 수 있죠. 역시 100 단위의 모든 금액이 가능함을 알 수 있어요. 그리고 이것이 가능한 이유는 앞에서 알아봤듯이, 작은 단위의 화폐의 합산 금액이 큰 단위의 화폐 금액을 침범했기 때문입니다.

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100원짜리 동전 7개와 500원짜리 동전 3개, 1000원짜리 지폐 4장이 있다. 세 종류의 화폐를 이용하여 거스름돈 없이 3600원을 지불하는 서로 다른 방법의 수를 구하시오.

위에서 공부했던 문제와는 다른 유형이나 이런 유형도 연습 삼아 풀어 볼 가치는 있죠.

이런 문제의 핵심은 큰 단위의 금액부터 몇 개나 쓰이는지 분류하는 겁니다. 분류할 때도 최대한 많이 이용하는 것부터 시작하면 수월합니다.

(1) 1000원짜리 지폐를 3장 사용하는 경우
남은 금액은 600원이고 이를 지불하는 방법은 100원짜리 6개를 내는 방법과 500원짜리 1개, 100원짜리 1개를 내는 방법이 있으므로 2가지입니다.

(2) 1000원짜리 지폐를 2장 사용하는 경우
남은 금액은 1600원이고 이 금액을 내기 위해 500원짜리 동전을 많이 내는 경우부터 생각하면
  1) 500원짜리 동전을 3개 지불 → 남은 금액이 100원이므로 100원짜리 동전 1개로 가능
  2) 500원짜리 동전을 2개 지불 → 남은 금액이 600원이므로 100원짜리 동전 6개로 가능
  3) 500원짜리 동전을 1개 이하로 지불 → 남은 금액이 1100원 이상이므로 불가능
따라서 2가지입니다.

(3) 1000원짜리 지폐를 1장 사용하는 경우
남은 금액은 2600원인데 500원짜리를 3개 다 사용해도 남은 금액이 1100원이죠. 이 금액을 100원짜리 동전으로 감당할 수 없으므로 방법은 0가지입니다. 1000원짜리 지폐를 안 사용한다면 더더욱 방법은 없겠죠.

이상으로부터 지불 방법의 수는 $~4~$가지입니다.

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