합의 법칙에 대한 자세한 이해 (고1 수학 경우의 수)

합의 법칙에 대한 자세한 이해 (고1 수학 경우의 수)

선미네 집에서 할머니 댁까지 가는 데에는 버스 4가지 노선과 지하철 2가지 노선이 있다. 선미가 집에서 버스나 지하철을 타고 할머니 댁까지 가는 경우의 수는 몇가지 일까요? (자료 출처: 미래엔 중학수학2)

 

 안녕하세요? holymath입니다. 이 카테고리의 포스팅은 2015개정 고등학교 1학년 수학의 개념을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 수학을 공부할 때는 공식과 문제 푸는 요령을 외워서 푸는 게 아니라 개념이 만들어진 근본적인 원리와 개념들 사이의 연관성을 생각하면서 공부해야 합니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

 경우의 수는 1학년 수학의 마지막 파트입니다. 1학년 수학은 이렇게 다양한 분야의 기본적인 개념을 학습하는 것으로 구성되어 있어요. 경우의 수는 확률과 통계에 해당됩니다. 이 포스팅에서는 경우의 수를 구하는데 가장 기본이 되는 합의 법칙에 대해 공부해 보겠습니다.

 

● 들어가기

 썸네일에 소개한 문제는 중학교 2학년 교과서에 실려있는 문제입니다. 이 말은 즉, 경우의 수에 대한 개념은 이미 중학교에서 어느 정도 배웠다는 것이고 고1 학생이면 어느 정도 기억하고 있어야 합니다. 이 문제는 버스로 가는 방법이 4가지이고 지하철로 가는 방법이 2가지 이므로 총 $4+2=$ 6가지가 답이 됩니다.

너무나도 간단해 보이는 이 개념이 바로 합의 법칙이에요. 이 원리는 중학교 교과서에서 다음과 같이 소개하고 있습니다.

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(자료 출처: 미래엔 중학수학2)

(자료 출처: 미래엔 중학수학2)

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그리고 이 개념을 다음과 같이 설명하는 것이 고등학교 1학년 수학 교과서입니다.

(자료 출처: 좋은책 신사고 수학)

즉, '합의 법칙'이라는 용어가 추가된 것과 셋 이상의 사건도 다룰 수 있다는 점이 고등학교 수학에서 달라진 점입니다.

 

● 동시에 일어나지 않는다?

'동시'라는 말은 '같은 시간'이라는 의미를 가지고 있는데 같은 시간의 기준을 어디에 두느냐에 따라 뜻이 여러 가지로 해석될 수 있어요. 예를 들어서 "A와 B가 동시에 버스에 탑승했다"라는 말은 같은 정류장에서 둘 다 같은 버스에 탄 것으로 이해할 수는 있지만 누가 먼저 버스 안에다 발을 디뎠느냐에 따라 몇 초간의 시간차가 발생할 수도 있습니다.

반면, 달리기 시합에서 "A와 B가 동시에 결승선을 통과했다"고 말한 경우라면 1~2초간의 차이가 난 것을 가지고 동시에 들어왔다고 말하진 않죠. 그 정도의 차이가 몇 미터의 차이를 만들어서 승부를 결정해 버리니까요. 따라서 이때는 최대한 오차 없이 같은 시간 대에 들어온 상황이라고 해석할 수 있습니다.

 그렇다면 경우의 수에서 '동시'란 어떤 뜻이냐? 여기엔 구체적인 시간의 개념이 들어가는 게 아니라 두 사건에 중복으로 속하는 경우를 의미합니다. 즉, 두 사건을 집합으로 본다면 이들의 교집합에 원소가 들어있는 경우를 의미하죠.

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 다음은 중학교 수학 교과서의 예제입니다.

(자료 출처: 미래엔 중학수학2)

서로 다른 주사위라는 점에 주목해야겠죠. 즉, 주사위를 X, Y를 던져서 나온 눈의 수를 $x$, $y$라 하고 이 상황을 $(x,~y)$로 표현했을 때, $(1,~3)$이 나온 경우와 $(3,~1)$이 나온 경우를 다르게 보는 겁니다.

이제 나오는 눈의 수의 합이 4인 경우를 $A$라 하면

$(1,~3)$, $(2,~2)$, $(3,~1)$

으로 3가지가 됩니다. 그리고 나오는 눈의 수의 합이 7이 되는 경우를 $B$라 하면

$(1,~6)$, $(2,~5)$, $(3,~4)$, $(4,~3)$, $(5,~2)$, $(6,~1)$

로 6가지입니다.

이 상황에서 두 사건 $A$, $B$에 모두 속하는 경우는 없죠. 이런 사건을 두고 두 사건이 동시에 일어나지 않는다고 말하는 겁니다. 만약 눈의 수의 합이 7인 경우라면 그 상황에서 합이 4가 되는 사건 $A$는 절대 일어날 수 없죠. 마찬가지로 눈의 수의 합이 4인 경우라면 그 상황에서 합이 7이 되는 사건 $B$는 절대 일어날 수 없습니다. 이와 같이 동시에 일어나지 않는 두 사건은 한쪽 사건이 일어나면 다른 쪽 사건은 일어나지 않는 경우를 의미합니다.

따라서 이런 경우 두 사건이 일어나는 경우의 수를 합한 $3+6=9$가 구하는 총 경우의 수가 됩니다.

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그런데 만약 사건 $A$를 합이 4가 되는 경우, 사건 $B$를 곱이 4가 되는 경우로 정의하면

$A:~(1,~3),~(2,~2),~(3,~1)$
$B:~(1,~4),~(2,~2),~(4,~1)$

와 같이 되어 $(2,~2)$가 두 사건 모두에 속하게 되죠. 이런 경우는 두 사건이 동시에 일어나지 않는다고 말할 수 없는 거예요. 따라서 이런 경우에는 단순하게 합산한 $3+3=6$은 정답이 되지 않습니다.

 

● 유형 연습

 

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던졌을 때, 나오는 눈의 수의 합이 $4$인 경우 또는 눈의 수의 곱이 $4$인 경우의 수를 구하시오.

위에서 예시로 든 상황을 그대로 예제로 옮겼습니다. 단순하게 하나씩 세어보면 어렵지 않게 구할 수 있는 문제이지만 여기선 합의 법칙을 적용하는 원리를 보도록 할게요.

위에서 설명한 대로 사건 $A$를 합이 4가 되는 경우, 사건 $B$를 곱이 4가 되는 경우로 정의하면 합의 법칙을 적용할 수 없습니다. 두 사건이 동시에 일어나는 경우가 있으니까요. 따라서 여기선 다음과 같이 사건 $A$, $B$, $C$로 분류해 볼 수 있습니다.

  $A$: 합이 4이고 곱은 4가 아닌 경우
  $B$: 곱이 4이고 합은 4가 아닌 경우
  $C$: 합도 4이고 곱도 4인 경우

이렇게 하면 세 사건 $A$, $B$, $C$는 동시에 일어나지 않는 사건이 되죠. 이제 경우의 수를 구하면

  $A$: $(1,~3)$,  $(3,~1)$ - 2개
  $B$: $(1,~4)$,  $(4,~1)$ - 2개
  $C$: $(2,~2)$ - 1개

이렇게 해서 합의 법칙에 의해 구하는 경우의 수는 $2+2+1=$ $~5~$입니다.

 

$5x+2y$의 값이 $20$이하가 되도록 하는 자연수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x,~y)$의 개수를 구하시오.

$x$, $y$중 아무거나 하나를 붙잡고 $1$부터 대입해 보면 풀 수 있으나 덧셈법칙을 적용하려면 가급적 분류되는 가짓수가 많이 나오지 않도록 하는 게 좋겠죠. 따라서 이 경우에는 큰 수가 곱해진 $x$에다가 $1$부터 대입하면서 분류해 보겠습니다.

1) $x=1$인 경우

$5+2y \leq 20$, $2y \leq 15$를 만족하는 자연수 $y$는 $1$부터 $7$까지이죠. 따라서 구하는 순서쌍은 $(1,~1)$, $(1,~2)$, $\cdots$, $(1,~7)$로 총 $7$개입니다.

2) $x=2$인 경우

$10+2y \leq 20$, $2y \leq 10$을 만족하는 자연수 $y$는 $1$부터 $5$까지 $5$개입니다.

3) $x=3$인 경우

$15+2y \leq 20$, $2y \leq 5$를 만족하는 자연수 $y$는 $1$부터 $2$까지 $2$개입니다.

4) $x=4$인 경우

$20+2y \leq 20$, $2y \leq 0$을 만족하는 자연수 $y$는 존재하지 않습니다.

이상으로부터 합의 법칙에 의해 구하는 순서쌍의 개수는 $7+5+2=$ $14$입니다.

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집합 $X=\left\{~1,~2~\right\}$, $Y=\left\{~1,~2 ,~3 ,~4 ,~5 ,~6 ~\right\}$으로의 함수 $f$ 중에서 $f(1)+f(2)$가 $4$의 배수가 되도록 하는 함수 $f$의 개수는? [2017학평/고3/3점]

① $8$     ② $9$     ③ $10$     ④ $11$     ⑤ $12$

$f(1)$과 $f(2)$ 모두 $Y=\left\{~1,~2 ,~3 ,~4 ,~5 ,~6 ~\right\}$의 원소이므로 $f(1)+f(2)$는 최소 $2$부터 최대 $12$까지의 값을 가질 수 있겠죠. 따라서 $f(1)+f(2)$가 $4$의 배수가 되는 경우는 $4$, $8$, $12$중에 한 값이 되는 경우입니다.

1) $f(1)+f(2)=4$인 경우

조건을 만족시키는 순서쌍 $(f(1),~f(2))$는

$(1,~3)$, $(2,~2)$, $(3,~1)$

이므로 $3$개입니다.

2) $f(1)+f(2)=8$인 경우

조건을 만족시키는 순서쌍 $(f(1),~f(2))$는

$(2,~6)$, $(3,~5)$, $(4,~4)$, $(5,~3)$, $(6,~2)$

이므로 $5$개입니다.

3) $f(1)+f(2)=12$인 경우

조건을 만족시키는 순서쌍 $(f(1),~f(2))$는 $(6,~6)$ 이므로 $1$개입니다.

1), 2), 3)으로부터 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 따라

$3+5+1=9$

이므로 답은 ②번입니다.

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