정답률 4% 킬러 문제 2025 10월 학력평가 확률통계 29번 한 줄 짜리 풀이 (중복순열, 함수의 경우의 수)

정답률 4% 킬러 문제 2025 10월 학력평가 확률통계 29번 한 줄짜리 풀이 (중복순열, 함수의 경우의 수)

 

안녕하세요? 수학 개념, 원리를 자세히 설명하는 holymath입니다. 늦었지만 올해의 마지막 모의고사인 10월 학력평가의 문항 하나를 해설해보려고 합니다. 이번에도 수학에서 응시생들을 머리 아프게 하는 많은 문제들이 있었는데 오늘은 그중에서 확률과 통계 영역의 29번 문항을 살펴보도록 하겠습니다.

이 문항은 오답률이 95.8%로 이번 학력평가에서 가장 낮은 정답률을 보인 문제입니다. 그야말로 1등급 변별 문제라 볼 수 있었네요.

그럼 어떤 문제였길래 많은 응시생들을 오답으로 유도했는지 알아보겠습니다.

● 조건 분석하기

$X$에서 $X$로의 함수의 개수를 구하는 것은 어느 문제집에나 있는 흔한 유형이죠. 그런데 이번 평가에서는 합성함수까지 조건에 들어있습니다. 기본적으로 치역은 공역의 부분집합이라는 점을 생각하면 세 집합 $X$, $A$, $B$는 다음의 관계가 성립한다는 걸 알 수 있어요.

    $B \subset A \subset X$

(가) 조건을 먼저 보면 $f\circ f$의 치역인 $B$의 원소의 개수가 $2$입니다. 이것을 통해 알 수 있는 건 일단 함수 $f$는 일대일 함수가 아니라는 점이죠. 만약 일대일이었으면 $X$, $A$, $B$의 원소의 개수가 모두 똑같았을 테니까요.

바로 이어서 (나) 조건을 보면 집합 $A$의 모든 원소의 곱이 집합 $B$의 모든 원소의 곱의 $2$배라고 했습니다. 이 조건을 보고 잠깐은 고민할 수는 있겠지만 대부분의 학생은 이것으로 $A$와 $B$의 원소 구성을 대략 파악할 수 있었을 것이라 생각됩니다.

집합 $X$는 원소가 $2,~3,~5,~7,~11$로 구성되어 있죠. 이중 짝수는 $2$ 하나뿐입니다. 따라서 (나) 조건을 만족하려면 그림과 같이 집합 $B$는 $2$가 아닌 원소 두 개를 갖고 있으며, 여기에서 $2$를 하나 더 넣어서 만들어진 집합이 $A$가 되도록 할 수밖에 없는 겁니다.

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● 수식 세우기

이 부분부터 학생들의 답이 많이 갈라졌을 것으로 생각되는데요. 수학 문제 풀이 전략 중에 자주 쓰이지는 않지만 매우 유용한 방법 중에 하나가 바로 거꾸로 풀기입니다. 세 집합 $X$, $A$, $B$의 관계를 만족하는 함수 $f$의 개수를 구하기 위해 왼쪽부터 시작하는 게 아니라 제일 간단한 함수인 $B$부터 시작해서 왼쪽으로 가는 거죠. $B$를 구성하는 $2$가 아닌 원소 $a$, $b$를 고르는 방법은 $3$, $5$, $7$, $11$중에 두 개를 고르는 조합이 됩니다.

    $_4 \mathrm{C}_2 =6$

이제 $A$에서 $B$가 되도록 $f(2)$, $f(a)$, $f(b)$를 정하는 경우의 수를 생각해 봅시다.

각 $f(2)$, $f(a)$, $f(b)$가 가질 수 있는 값은 $a$, $b$중 하나이므로 경우의 수는 $_2 \Pi _3$입니다. 단, 여기에는 $f(2)$, $f(a)$, $f(b)$모두 $a$ 이거나 모두 $b$인 경우도 있는데 이건 치역 $B$의 원소의 개수가 $2$임에 모순이죠. 따라서 구하는 경우의 수는

    $_2 \Pi _3-2=6$

이다음 과정이 중요합니다. 같은 $f$에 의해 정의역의 원소를 공역으로 보내는 방식이므로 위의 과정에 따라 집합 $X$가 가진 원소 $2$, $a$, $b$도 어떤 원소와 연결되는지 자동으로 결정됩니다. 예를 들어 $f(2)=f(a)=a$, $f(b)=b$라면 아래의 그림과 같이 원소들 간의 매칭이 결정되는 거죠.

그렇다면 이제 남은 계산은 집합 $X$에 남아있는 두 원소입니다. 위의 그림에서는 $c$와 $d$를 매칭하는 일이 남았죠.

$c$와 $d$를 $2$, $a$, $b$중 하나에 연결해야 하므로 경우의 수는 $_3 \Pi _2$입니다. 단, 여기서 중요한 건 위의 그림에서 집합 $A$의 원소인 $2$가 아직 선택을 받지 않은 상태이므로 $f(c)$와 $f(d)$ 둘 다 $a$ 또는 $b$의 값만을 가진다면 $f:X→A$의 치역이 $\left\{a,~b \right\}$가 되어 원소 $2$가 빠지는 모순이 발생하죠. 따라서 $a$나 $b$에만 매칭되는 경우를 제외해야 합니다. 따라서 경우의 수는

    $_3 \Pi _2-_2 \Pi _2$

입니다.

 

● 마무리

위의 과정은 다음과 같이 한 줄로 간단히 정리할 수 있어요. 하나의 함수를 결정하기 위해 동시에 고려되는 경우의 수이므로 곱셈법칙이 이용됩니다.

    $_4 \mathrm{C}_2 \times (_2 \Pi _3-2) \times (_3 \Pi _2-_2 \Pi _2)$

그리고 이를 계산하면

    $6 \times (8-2) \times(9-4)$
    $=6 \times 6 \times5$
    $=$ $180$

 

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