이차함수, 삼차함수 넓이 킬러 공식 완벽 정리 및 증명 (고등수학 다항함수 교점 정적분)

이차함수, 삼차함수 넓이 킬러 공식 완벽 정리 및 증명 (고등수학 다항함수 교점 정적분)

 안녕하세요? 수학 개념, 원리를 자세히 설명하는 holymath입니다. 이 블로그는 고등학교 수학의 개념, 원리를 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

고등학교 수학에서 여러 가지 정적분을 구하다 보면 교과서에서 소개하지 않는 경우도 있지만 모르면 크게 손해를 볼 수도 있는 공식이 있어요. 바로 위의 섬네일에서 소개한 다음의 공식입니다.

    $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} a(x- \alpha) (x- \beta) dx =$ $\displaystyle - \frac{a}{6} (\beta - \alpha)^3$
    $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} a(x- \alpha)^2 (x- \beta) dx =$ $\displaystyle - \frac{a}{12} (\beta - \alpha)^4$
    $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} a(x- \alpha) (x- \beta)^2 dx =$ $\displaystyle  \frac{a}{12} (\beta - \alpha)^4$

특별히 이름이 붙은 공식은 아니지만 다항함수 정적분 킬러 공식이나 넓이 공식 등으로 불립니다. 이차식의 경우는 계수에 $\displaystyle \frac{1}{6}$이 있어서 6분의 공식으로 부르기도 하는데요. 이번 포스팅에서는 이와 관련된 공식에 대해 자세하고 심도 있게 알아보도록 하겠습니다.

● 교점을 구간으로 한 정적분의 만능 공식

내신과 수능을 막론하고 계산 시간을 획기적으로 줄여주는 이 공식을 알아둘 가치는 충분하지만, 이 공식의 증명을 직접 해보신 분들은 거의 없을 거라 생각되는데요. 문제집이나 학원에서도 외우라고 알려주기만 할 뿐 그 유도과정을 다루지는 않습니다.

물론 공식에서 양변을 모두 풀어헤치면 두 결과가 일치하는 걸 확인할 수는 있겠지만, 그런 식으로 정당화하고 넘어가기엔 공식의 모양이 너무나 정갈하고 아름답게(?) 생겼죠. 사실 이 공식은 다음과 같이 일반화된 법칙이 존재합니다.

    $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x- \alpha)^m (x- \beta)^n dx =$ $\displaystyle (-1)^n \times \frac{m! \, n!}{(m+n+1)!} (\beta - \alpha)^{m+n+1}$

앞에서 소개한 2차함수 공식은 $m=1, n=1$을 대입해서 분모는 $(1+1+1)! = 3! = 6$, 분자는 $1! \times 1! = 1$이 되어 우리가 아는 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 이 나옵니다. 그리고 3차함수 공식은 $m=2, n=1$을 대입해서 분모는 $(2+1+1)! = 4! = 24$, 분자는 $2! \times 1! = 2$가 되므로, 약분하면 $\displaystyle \frac{1}{12}$ 이 유도돼요.

그렇다면 이렇게 체계적으로 만들어진 공식은 공식만큼이나 그 유도과정에 뭔가 특별한 원리가 있을 것 같은데요. 대학 수학에서는 이를 오일러 베타 함수(Beta Function)의 성질로 다루지만, 고등학교 미적분 과정의 치환적분과 부분적분만으로도 완벽하게 일반화 증명이 가능합니다.

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● 공식의 증명

$\alpha$와 $\beta$를 그대로 끌고 다니면 계산이 복잡해지므로, 가장 먼저 구간의 시작점을 $0$으로 맞추는 치환을 거친 뒤 부분적분법을 반복 적용하는 것이 이 증명의 핵심이에요. 우리가 구하고자 하는 정적분 식에서 출발해 봅시다.

    $I= \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x- \alpha)^m (\beta-x)^n dx$

단, 위의 식에서는 $x- \beta$ 대신 $\beta-x$로 시작했어요. 이것은 유도과정에서 중요한 계산을 수월하게 하기 위함입니다. 최종 결과에서는 $(\beta-x)^n= (x- \beta)^n (-1)^n$로 분리하게 됩니다.

[1단계] 평행이동을 통한 식의 단순화

계산의 편의를 위해 $\alpha$, $\beta$의 차를 상수 $k = \beta - \alpha$ ($k > 0$) 라 둔 다음 적분 구간을 간단히 만들기 위해 $x - \alpha = kt$ 로 치환합니다. 그러면

    $x = \alpha \implies t = 0$
    $x = \beta \implies kt = \beta - \alpha = k,~t=1$

$x - \alpha = kt$의 양변을 미분하면 $dx = k \, dt$이고

    $\beta - x = (\beta - \alpha) - (x - \alpha) = k - kt$

따라서 구하려는 정적분 식이 아래와 같이 바뀝니다.

    $I = \displaystyle \int_{0}^{1} (kt)^m (k - kt)^n \times k \, dt$

상수 $k$를 지수법칙에 의해 앞으로 모두 묶어서 빼내면 최종적으로 우리가 계산해야 할 알맹이 식이 추출됩니다.

    $I = \displaystyle k^{m+n+1} \int_{0}^{1} t^m (1 - t)^n dt$

[2단계] 부분적분법으로 규칙성 발견

이제 인테그랄 뒤에 남은 $t^m (1 - t)^n$ 파트를 계산합니다. 적분단원의 핵심인 부분적분법($\int f g' = fg - \int f'g$)을 적용하기 위해, $t^m$을 미분할 함수로 두고 $(1-t)^n$을 적분할 함수로 설정하면 다음과 같이 계산됩니다.

    $\displaystyle \int_{0}^{1} t^m (1 - t)^n dt = \left[ t^m \times \frac{-(1-t)^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} m t^{m-1} \times \frac{-(1-t)^{n+1}}{n+1} dt$

여기서 대괄호 $\left[ \dots \right]_{0}^{1}$ 부분은 위끝 $1$을 넣으면 $(1-t)$ 때문에 $0$이 되고, 아래끝 $0$을 넣으면 $t^m$ 때문에 $0$이 되어 통째로 사라져요. 결국 다음과 같이 마이너스 부호가 상쇄된 뒤쪽 식만 남게 됩니다.

    $\displaystyle= \frac{m}{n+1} \int_{0}^{1} t^{m-1} (1-t)^{n+1} dt$

자! 여기서부터 눈을 크게 뜨고 관찰해 주세요.

부분적분을 한 번 완료할 때마다, 앞쪽 $t$의 지수는 하나씩 줄어들며 원래의 지수 $m$은 맨 앞 계수의 분자에 곱해지고, 뒤쪽 $(1-t)$의 지수는 하나씩 늘어나며 늘어난 지수 $n+1$은 맨 앞 계수의 분모에 곱해집니다.

한번 더 계산해 보면 그 규칙성이 눈에 보이실 거예요. 계산된 $\displaystyle \int_{0}^{1} t^{m-1} (1-t)^{n+1} dt$에서 $t^{m-1}$을 미분할 함수로 두고 $(1-t)^{n+1}$을 적분할 함수로 둬서 부분적분법을 적용하면 마찬가지로 분자에는 $m-1$이 곱해지고 분모에는 $n+2$가 곱해져서 다음식이 완성됩니다.

    $\displaystyle= \frac{m}{n+1} \times \frac{m-1}{n+2} \int_{0}^{1} t^{m-2} (1-t)^{n+2} dt$

[3단계] 공식의 완성

이제 나머지식을 어떻게 하는지 아시겠나요? 이 과정을 앞쪽 $t$의 지수가 $0$이 될 때까지 부분적분을 총 $m$번 반복하여 연쇄적으로 무너뜨리면 다음의 결과를 얻을 수 있어요.

    $\displaystyle= \frac{m}{n+1} \times  \frac{m-1}{n+2} \times  \frac{m-2}{n+3} \times  \cdots \times  \frac{1}{n+m} \int_{0}^{1} t^0 (1-t)^{n+m} dt$

이제 마지막에 남은 $(1-t)^{n+m}$를 정적분 하면

    $\displaystyle \int_{0}^{1} (1-t)^{n+m} dt = \left[ \frac{-(1-t)^{n+m+1}}{n+m+1} \right]_{0}^{1}$
    $\displaystyle= 0 - \left( -\frac{1}{n+m+1} \right) = \frac{1}{n+m+1}$

구해진 모든 분수 더미와 마지막 계산 결과를 곱해주면

    $\displaystyle \frac{m \times (m-1) \times \cdots \times 1}{(n+1) \times (n+2) \times \cdots \times (n+m+1)}$

이 긴 분수 식의 분모와 분자에 똑같이 $n!$을 곱해주면 다음과 같이 정교한 팩토리얼 형태의 식이 완성됩니다.

    (분자)= $m!$ $\times n!$
    (분모)= $(n+m+1) \times (n+m) \times \cdots \times (n+1)$ $\times n!$ $= (m+n+1)!$

    $\displaystyle \int_{0}^{1} t^m (1 - t)^n dt = \frac{m! \, n!}{(m+n+1)!}$

이제 [1단계]에서 분리해 두었던 상수 $k^{m+n+1}$ 항에 방금 구한 팩토리얼 결과식을 결합해 주면

    $\displaystyle I = \frac{m! \, n!}{(m+n+1)!} k^{m+n+1}$

처음에 치환했던 상수 $k = \beta - \alpha$ 를 원래대로 대입해 주면

    $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m (\beta-x)^n dx = \frac{m! \, n!}{(m+n+1)!} (\beta - \alpha)^{m+n+1}$

이제 처음에 얘기했듯이 $(\beta-x)^n= (x- \beta)^n (-1)^n$로 분리해서 $(-1)^n$을 우변으로 넘기면 단편적으로 외우던 적분 공식들이 하나로 묶인 정적분 만능 공식이 완성됩니다.

    $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x- \alpha)^m (x- \beta)^n dx =$$\displaystyle (-1)^n \times \frac{m!  \, n!}{(m+n+1)!} (\beta - \alpha)^{m+n+1}$

여러 경우를 한꺼번에 표현한 공식이라 그 유도과정이 꽤나 복잡했지만 우리가 배운 적분의 핵심 기법인 치환적분과 부분적분이 극강으로 활용된다는 점에서 그 의미를 들여다볼 수 있습니다.

 

● 연습문제 풀이

삼차함수 $f(x) = x^3 + 5x^2 + 2x + 1$과 이차함수 $g(x) = 2x^2 + 2x + 5$에 대하여 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① $\displaystyle \frac{15}{4}$     ② $\displaystyle \frac{19}{4}$     ③ $\displaystyle \frac{23}{4}$     ④ $\displaystyle \frac{27}{4}$     ⑤ $\displaystyle \frac{31}{4}$ 

두 곡선으로 둘러싸인 넓이를 구할 때는 다음과 같이 두 식을 연립한 새로운 함수 $h(x) = f(x) - g(x)$를 잡습니다.

    $h(x) = (x^3 + 5x^2 + 2x + 1) - (2x^2 + 2x + 5)$
    $= x^3 + 3x^2 - 4$

이 방정식을 풀기 위해 인수분해를 해보면, 다음과 같이 묶인다는 걸 알 수 있어요.

    $h(x) = (x+2)^2(x-1)$

즉, 새로운 함수 $h(x)$의 그래프는 $x$축과 $x=-2$에서 접하고, $x=1$에서 뚫고 지나가는 형태가 됩니다. 이 함수를 $-2$부터 $1$까지 정적분하면 원하는 넓이를 구할 수 있으므로 우리가 배운 공식을 써먹을 수 있어요. 단, 넓이는 음수가 되면 안되므로 절댓값을 적용하면 여기선 $(-1)^n$은 빼고 생각할 수 있죠. 따라서 $m=2, n=1$만 적용하면

    $\displaystyle \frac{2! \times 1!}{(2+1+1)!} \left\{ 1 - (-2) \right\}^4$
    $\displaystyle = \frac{1}{12} \times 3^4 = \frac{81}{12} = \frac{27}{4}$

따라서 답은 ④번입니다. 참고로 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프는 다음과 같으며, 노란색으로 색칠한 부분이 넓이를 구할 영역이 됩니다.

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$\displaystyle \int_{1}^{2} (x-1)(x-2)^2(x-4)dx=-\frac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 서로소인 자연수이다.)

수식에 뜬금없이 $x-4$가 붙어있어서 당황할 수 있겠지만 이 식을 $(x-2)-2$로 변형하면 본 수식을 다음과 같이 개조해서 공식을 무난히 적용할 수 있습니다.

    $(x-1)(x-2)^2 \left\{ (x-2)-2 \right\}$
    $=(x-1)(x-2)^3-2(x-1)(x-2)^2$

    $\displaystyle \int_{1}^{2} (x-1)(x-2)^2(x-4)dx$
    $\displaystyle = \int_{1}^{2} (x-1)(x-2)^3dx-2\displaystyle \int_{1}^{2} (x-1)(x-2)^2dx$
    $\displaystyle = (-1)^3 \times \frac{1! \times 3!}{(1+3+1)!} - 2\times (-1)^2 \times \frac{1! \times 2!}{(1+2+1)!}$
    $\displaystyle = -\frac{1}{20} - 2 \times \frac{1}{12}= -\frac{13}{60}$

따라서 답은 $60+13=$ $73$ 입니다.

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이 내용을 포스팅한 또 다른 이유는 바로 이걸 활용하면 쉽게 풀리는 문제가 최근 학력평가에서 출제되었기 때문이에요. 아래의 글에서 그 내용을 정리하였으니 추가 학습을 위해 함께 보시는 걸 추천드립니다.
https://holymath.tistory.com/entry/2026-5월-학평-수학-15번

2026 5월 학력평가 수학 15번 킬러 문제 초간단 풀이 (정적분, 이차함수 넓이 공식)

 

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(Holymath교사용) 미적분 보충 학습 - 다항함수 정적분 킬러 공식.pdf

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(Holymath학생용) 미적분 보충 학습 - 다항함수 정적분 킬러 공식.pdf

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