이차곡선의 접점에서의 접선의 방정식 만능 공식 완벽 증명 (음함수의 미분, 기하, 미적분)

고등수학 특강

by holymath 2026. 5. 1. 17:42

이차곡선의 접점에서의 접선의 방정식 만능 공식 완벽 증명 (음함수의 미분, 기하, 미적분)

이차곡선의 접점에서의 접선의 방정식 섬네일 — 이차곡선에서 접점에서의 접선의 방정식은 일정한 규칙이 있습니다.

안녕하세요? 수학 개념, 원리를 자세히 설명하는 holymath입니다. 이 블로그는 고등학교 수학의 개념, 원리를 쉽게 이해할 수 있도록 해설하는 글입니다. 이 포스팅을 통해 교과서나 참고서에 있는 수학 개념을 제대로 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.

오늘의 주제는 공통수학의 원의 방정식부터 기하의 이차곡선, 미적분Ⅱ의 음함수의 미분까지 여러 과목과 단원을 아우르는 내용입니다. 이 중 최상위 개념이 음함수의 미분이므로 이 단원을 공부하는 학생들이나 수업하시는 선생님께 이 글을 추천드립니다.

● 이차곡선의 접점 위에서의 접선의 방정식 공식

고등학교 과정에서 이차곡선은 고1 때 배운 원의 방정식부터 시작합니다. 그리고 기하 과목에서 포물선, 타원, 쌍곡선의 방정식을 공부했죠. 각각의 기본 방정식은 다음과 같습니다.

그리고 각 그래프 위의 점 $(x_1,~y_1)$에서의 접선의 방정식 공식은 다음과 같습니다.

그리고 이들 공식에서는 다음과 같이 공통점을 발견할 수 있어요. 이것은 교과서에는 따로 설명이 없지만 기본적으로 다 가르치는 내용이며 특히, 학원 같은 곳에서는 접선의 방정식을 구하기 위한 필수 공식으로 암기시키죠. 이 요령만 알고 있으면 교과서에서 정리한 공식을 일일이 암기할 필요가 없으며 심지어 수식이 복잡하게 제시된 문제라도 그 접선의 방정식을 매우 쉽게 구할 수 있기 때문입니다. 단, 변환을 할 때 제시된 변환 외에 나머지 상수나 계수는 그대로 둬야 한다는 점을 유의합니다.

● 공식의 증명

네 가지의 이차곡선인 원, 포물선, 타원, 쌍곡선의 경우 접선의 방정식을 유도하는 방법은 교과서에 모두 제시되어 있으며 기본적으로 연립방정식의 판별식을 이용합니다. 특히, 원의 방정식의 경우는 접점과 중심을 연결한 직선이 접선과 수직임을 활용하여 유도하죠. 원의 방정식에서의 접선의 방정식 유도는 그나마 할 만 하지만 타원이나 쌍곡선까지만 넘어가도 식이 복잡해서 기하에서 접선의 방정식을 유도하는 과정은 대부분 생략하는 편입니다.

따라서 공부를 열심히 한 학생들이라면 어떻게 이런 간단한 변환이 모든 이차곡선에서 통하는가 하는 의문을 가질 수 있어요. 여기서는 음함수의 미분법을 통해 네 가지의 경우를 모두 아우르는 일반적인 이차곡선에 대해서 접선의 방정식을 유도해보려고 합니다. 식을 다루는 방식에는 여러 가지가 있을 수 있겠으나 다음의 방법이 변환 공식이 만들어지는 과정을 이해하기에 가장 좋다고 생각됩니다.

이차곡선 $Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$ 위의 점 $(x_1,~y_1)$에서의 접선의 방정식은

$\displaystyle \ \ Ax_1x+By_1y+ \frac{C}{2}\left ( x+x_1 \right ) + \frac{D}{2}\left ( y+y_1 \right ) +E=0$

구하는 접선의 방정식을 $px+qy+r=0$으로 놓고 접선의 기울기를 $m$이라 하자. 이때, $px+qy+r=0$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $y'=m$이므로

$p+qy'=0$, $p+qm=0$

한편, 이차곡선의 방정식 $Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면

$2Ax+2Byy'+C+Dy'=0$
$2Ax+C+(2By+D)y'=0$
$\displaystyle \ \ Ax+ \frac{C}{2}+\left ( By+ \frac{D}{2} \right ) y'=0$

이 식에 점 $(x_1,~y_1)$을 대입하면 $y'$은 접선의 기울기 $m$과 같아지므로

$\displaystyle \ \ Ax_1+ \frac{C}{2}+\left ( By_1+ \frac{D}{2} \right ) m=0$

따라서 일반성을 잃지 않고 다음과 같이 놓을 수 있다.

$\displaystyle \ \ p=Ax_1+ \frac{C}{2}$, $\displaystyle \ \ q= By_1+ \frac{D}{2}$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$\displaystyle \left ( Ax_1+ \frac{C}{2} \right ) x+ \left ( By_1+ \frac{D}{2} \right ) y+r=0$
$\displaystyle Ax_1x+ By_1y+ \frac{C}{2} x+ \frac{D}{2} y+r=0$

이제 이 접선과 곡선 $Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$은 모두 접점 $(x_1,~y_1)$을 지나므로

$\displaystyle Ax_1^{~2}+ By_1^{~2}+ \frac{C}{2} x_1+ \frac{D}{2} y_1+r=0$
$\displaystyle Ax_1^{~2}+ By_1^{~2}+ Cx_1 +Dy_1 +E=0$

두 식을 연립하면

$\displaystyle r= \frac{C}{2} x_1+ \frac{D}{2} y_1 +E$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$\displaystyle \ \ Ax_1x+By_1y+ \frac{C}{2}\left ( x+x_1 \right ) + \frac{D}{2}\left ( y+y_1 \right ) +E=0$

완성된 직선의 방정식을 원래의 이차곡선과 비교하면 식의 차수만 다를 뿐 그 형태가 유사하죠. 사실 가장 짧게 증명하는 방법은 위의 직선의 방정식을 결과로써 먼저 도입한 다음 이 식에 접점인 $(x_1,~y_1)$을 대입하면 원래의 이차곡선 수식에 $(x_1,~y_1)$을 대입한 결과와 같아져서 식이 성립한다는 사실을 보여주고 이 직선의 기울기가 점 $(x_1,~y_1)$에서의 이차곡선의 접선의 기울기와 일치한다는 것만 보여주면 됩니다.

접선의 방정식에서 기울기를 결정하는 두 상수 $\displaystyle Ax_1+ \frac{C}{2}$, $\displaystyle By_1+ \frac{D}{2}$는 그 두 배인 $2Ax_1+ C$, $2By_1+ D$로 비교함으로써 원래의 이차곡선을 미분하여 $(x_1,~y_1)$을 대입한 값임을 이해할 수 있어요.

타원 $3x^2+4y^2+9x+2=0$ 위의 점 $(-1,~1)$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

공식에 따라 $x^2 \to -x$, $y^2 \to y$, $\displaystyle x \to \frac{x-1}{2}$으로 변환하여 정리하면

$\displaystyle 3 \times (-x)+4 \times y+9 \times \frac{x-1}{2} +2=0$
$\displaystyle -6x+8y+9(x-1)+4=0$
$\displaystyle 3x +8y-5=0$

● xy항이 있는 이차곡선의 경우

더 나아가 $xy$항까지 있는 이차곡선의 경우는 다음과 같이 확장할 수 있어요.

이차곡선 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 위의 점 $(x_1,~y_1)$에서의 접선의 방정식은

$\displaystyle \ \ Ax_1x+ \frac{B}{2}\left ( x_1y+xy_1 \right ) +Cy_1y+ \frac{D}{2}\left ( x+x_1 \right ) + \frac{E}{2}\left ( y+y_1 \right ) +F=0$

증명을 위해 마찬가지로 구하는 접선의 방정식을 $px+qy+r=0$으로 놓고 접선의 기울기를 $m$이라 하면

$p+qm=0$

이 되고 이차곡선의 방정식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면

$2Ax+ B(y+xy')+ 2Cyy'+D+Ey'=0$
$2Ax+By+D+(Bx+2Cy+E)y'=0$
$\displaystyle Ax+ \frac{B}{2}y + \frac{D}{2}+\left (\frac{B}{2}x+ Cy+ \frac{E}{2} \right ) y'=0$
$\displaystyle Ax_1+ \frac{B}{2}y_1 + \frac{D}{2}+\left (\frac{B}{2}x_1+ Cy_1+ \frac{E}{2} \right ) m=0$

이 되어 접선의 방정식을

$\displaystyle \left ( Ax_1+ \frac{B}{2}y_1 + \frac{D}{2} \right ) x+ \left ( \frac{B}{2}x_1+ Cy_1+ \frac{E}{2} \right ) y+r=0$
$\displaystyle Ax_1x+ \frac{B}{2}(xy_1+x_1y) + Cy_1y+ \frac{D}{2} x+ \frac{E}{2} y+r=0$

와 같이 구할 수 있고 같은 방법으로 $r$을 구하면 됩니다.

따라서 이차곡선 위의 접점 $(x_1,~y_1)$에서의 접선의 방정식을 구하는 요령은 다음과 같이 최종 정리할 수 있어요.